7.2.2特殊的哈密顿—雅可比方程（1）
2024-05-03 10:53:31
标签： 原创科技著作
分析力学笔记（石拓/著）
7.2.2特殊的哈密顿—雅可比方程（1）
1）哈密顿函数H不显含时间t
设一个自由度为n的完整的保守力学系统（7-11）：
（7-11）
H=H(q,p)
则有（1）：
其中h=an是雅可比积分（或能量积分）。根据哈密顿-雅可比方程（7-8）：
把（1）代（7-8），得（2）：
对（2）全积分，得（3）：
其中W(q,a)是不显含t的函数。于是，从（3）得到代数方程（4）：
将（4）的第三式代（2），得到一个关于函数W的偏微分方程（7-12）：
全积分为（7-13）：
（7-13）
W=W(q,a)=W(q1,q2,,qn,a1,a2,…,an)
接下来讨论（4）第一、第二式的几何意义。将（7-13）代（4），并把（4）第一式写成（a）：
把第二式写成（b）：
由此可知，（4）第一式的几何意义是：每一个方程表示一个n维空间的曲面，方程组（a）（n-1个）就是n维空间的（移动）的曲线（曲线簇），此曲线簇相当于力学系统的位形，随时间变化的轨迹。当第二式的时刻t确定后，（a）与（b）可解出质点在n维空间的位置，即n个线性方程的解，因此（4）第二式的几何意义是：动点沿轨迹运动的规律。
（待续）
7.2.2特殊的哈密顿—雅可比方程（1）
分析力学笔记（石拓/著）
7.2.2特殊的哈密顿—雅可比方程（1）
1）哈密顿函数H不显含时间t
设一个自由度为n的完整的保守力学系统（7-11）：
（7-11） H=H(q,p)
则有（1）：
其中h=an是雅可比积分（或能量积分）。根据哈密顿-雅可比方程（7-8）：
把（1）代（7-8），得（2）：
对（2）全积分，得（3）：
其中W(q,a)是不显含t的函数。于是，从（3）得到代数方程（4）：
将（4）的第三式代（2），得到一个关于函数W的偏微分方程（7-12）：
全积分为（7-13）：
（7-13） W=W(q,a)=W(q1,q2,,qn,a1,a2,…,an)
接下来讨论（4）第一、第二式的几何意义。将（7-13）代（4），并把（4）第一式写成（a）：
把第二式写成（b）：
由此可知，（4）第一式的几何意义是：每一个方程表示一个n维空间的曲面，方程组（a）（n-1个）就是n维空间的（移动）的曲线（曲线簇），此曲线簇相当于力学系统的位形，随时间变化的轨迹。当第二式的时刻t确定后，（a）与（b）可解出质点在n维空间的位置，即n个线性方程的解，因此（4）第二式的几何意义是：动点沿轨迹运动的规律。
（待续）