7.2.1雅可比（Jacobi）定理（2）
2024-04-21 09:50:36
标签： 原创科技著作
分析力学笔记（石拓/著）
7.2.1雅可比（Jacobi）定理（2）
定理的证明：
*.只要证明哈密顿-雅可比方程（7-8）的全积分（7-10）中第一、第二式，是哈密顿正则方程（5-6）的解，那么（7-9）：
S=S(q,a,t)，就是哈密顿主函数S。
根据（7-9）（哈密顿主函数S=S(q,a,t)），可知S是独立参数q，a，t的函数，因此pj也是q，a，t的函数。将哈密顿-雅可比方程（7-8）对ai求偏导，得（1）：
对（7-10）第一式的时间t求导，考虑到bi，i=1,2,…,n，是常数，得（2）：
其中的∂S/∂ai是q,a,t的函数。将（2）代（1）得（3）：
由（7-10）第二式，得（4）：
（4）代（3）得（5）：
因为（5）是一个以
为变量，
为系数的齐次线性方程组，由于（7-10）第三式，因此（5）的系数行列式不为0，所以（5）只有恒于0的解。于是，就得到了哈密顿正则方程（5-6）的第一组，即：
这就是说哈密顿—雅可比方程全积分的解，有一组是哈密顿正则方程的第一组。
（待续）
7.2.1雅可比（Jacobi）定理（2）
分析力学笔记（石拓/著）
7.2.1雅可比（Jacobi）定理（2）
定理的证明：
*.只要证明哈密顿-雅可比方程（7-8）的全积分（7-10）中第一、第二式，是哈密顿正则方程（5-6）的解，那么（7-9）： S=S(q,a,t)，就是哈密顿主函数S。
根据（7-9）（哈密顿主函数S=S(q,a,t)），可知S是独立参数q，a，t的函数，因此pj也是q，a，t的函数。将哈密顿-雅可比方程（7-8）对ai求偏导，得（1）：
对（7-10）第一式的时间t求导，考虑到bi，i=1,2,…,n，是常数，得（2）：
其中的∂S/∂ai是q,a,t的函数。将（2）代（1）得（3）：
由（7-10）第二式，得（4）：
（4）代（3）得（5）：
因为（5）是一个以
为变量，
为系数的齐次线性方程组，由于（7-10）第三式，因此（5）的系数行列式不为0，所以（5）只有恒于0的解。于是，就得到了哈密顿正则方程（5-6）的第一组，即：
这就是说哈密顿—雅可比方程全积分的解，有一组是哈密顿正则方程的第一组。
（待续）