分析力学笔记（石拓/著）
7.2.1雅可比（Jacobi）定理（1）
设a1,a2,…,an,an+1是n个广义坐标qj和时间t=t0，共n+1个独立变量的常数。因为S以偏导数存在于方程（7-8），所以S中有一个单列的常数（相应于独立变量t=t0），不妨设为an+1（相应于t=t0），因此方程（7-8）的解（哈密顿主函数S）可写为（a）：
S=S(q1,q2,…,qn,
a1,a2,…,an,an+1,t)
=S(q1,q2,…,qn,
a1,a2,…,an,t)+
an+1
（a）
由于
所以可把上式（a）中的an+1省略，写成（7-9）：
（7-9）S=S(q1,q2,…,qn,
a1,a2,…,an,t)=S(q,a,t)
从7.2的推导可知，哈密顿—雅可比方程（7-8）是从哈密顿主函数S导出的。现在，反过来问：哈密顿—雅可比方程（7-8）的全积分的解，是否一定是哈密顿主函数S？为此，雅可比（Jacobi）给出了一个定理，即雅可比定理。
雅可比定理：假设哈密顿主函数S（7-9）
（7-9）
S=S(q1,q2,…,qn,
a1,a2,…,an,t)=S(q,a,t)
是哈密顿-雅可比方程（7-8）：
的全积分（解），并且有关系式（7-10）：
（即每一个bi和pj不等于0），其中bi与ai是相互独立的任意常数，i，j=1,2,…,n。那么，（7-10）的第一、第二式，就是哈密顿正则方程（5-6）：
的解。
（待续）
7.2.1雅可比（Jacobi）定理（1）
分析力学笔记（石拓/著）
7.2.1雅可比（Jacobi）定理（1）
设a1,a2,…,an,an+1是n个广义坐标qj和时间t=t0，共n+1个独立变量的常数。因为S以偏导数存在于方程（7-8），所以S中有一个单列的常数（相应于独立变量t=t0），不妨设为an+1（相应于t=t0），因此方程（7-8）的解（哈密顿主函数S）可写为（a）：
S=S(q1,q2,…,qn, a1,a2,…,an,an+1,t)
=S(q1,q2,…,qn, a1,a2,…,an,t)+ an+1 （a）
由于
所以可把上式（a）中的an+1省略，写成（7-9）：
（7-9）S=S(q1,q2,…,qn, a1,a2,…,an,t)=S(q,a,t)
从7.2的推导可知，哈密顿—雅可比方程（7-8）是从哈密顿主函数S导出的。现在，反过来问：哈密顿—雅可比方程（7-8）的全积分的解，是否一定是哈密顿主函数S？为此，雅可比（Jacobi）给出了一个定理，即雅可比定理。
雅可比定理：假设哈密顿主函数S（7-9）
（7-9） S=S(q1,q2,…,qn, a1,a2,…,an,t)=S(q,a,t)
是哈密顿-雅可比方程（7-8）：
的全积分（解），并且有关系式（7-10）：
（即每一个bi和pj不等于0），其中bi与ai是相互独立的任意常数，i，j=1,2,…,n。那么，（7-10）的第一、第二式，就是哈密顿正则方程（5-6）：
的解。
（待续）