分析力学笔记（石拓/著）

7.1哈密顿（Hamilton）主函数（2）

       对（7-3）中第一式的哈密顿（Hamilton）主函数S，进行等时变分，即δt=0，得（a）：

由于（a）中的q_j是拉氏方程中q´_j0的解，因此（a）的第二项积分号下的拉氏方程恒等于0，即：

于是，从（a）算得（b）：

 

同样，对（7-3）第二式两边取变分，得（c）：

 比较（b）和（c）：

  得到n个代数方程（偏微分方程）（7-4）：

 在（7-4）中，如果满足（7-5）：

 也就是说，不为0的广义动量p_j和广义初始动量p_j0，各有n个。因此，可从（7-4）第二式的n个代数方程（初始动量），求出n个代数方程（7-4）第一式的q_j，即（7-6）：

（7-6）                     q_j= q_j(q₁₀,q₂₀,…,q_no,p₁₀,p₂₀,…,p_n0,t₀,t)

                                    =q_j (q₀,p₀,t₀,t)，j=1,2,…,n

把（7-6）代入（7-4）第一式，解得（7-7）：

（7-7）                      p_j=p_j (q₁₀,q₂₀,…,q_no,p₁₀,p₂₀,…,p_n0,t₀,t)

                                     = p_j(q₀,p₀,t₀,t)，j=1,2,…,n

       *以上的分析告诉了我们，如果已知一个自由度为n力学系统的哈密顿主函数S，那么对S求偏导就能得到2n个代数方程（7-4），只要S满足条件（7-5），那么就可从代数方程（7-4），解出哈密顿主函数的解（7-6）和（7-7）。

       但是，上述哈密顿主函数S是建立在拉氏方程的解（4-6-1）或相应的（7-1）基础上的，而（4-6-1）或（7-1）已经表出了力学系统的运动规律，因此，在这种情况下，讨论哈密顿主函数S的问题是没有意义的。

       然而，在未知力学系统的运动规律时，求得哈密顿主函数S是十分有意义的，这是因为，可以从哈密顿主函数S那里，得到力学系统的运动规律。下面来求哈密顿主函数S。

（待续）