分析力学笔记（石拓/著）

7.1哈密顿（Hamilton）主函数（1）

       设一个n个自由度的完整的力学体系，拉格朗日（Lagrange）方程（4-6）（见4.1.1.3）：

初始条件：t=t₀；q_j0；q´_j0，j=1,2,…,n下，n个广义坐标的解为（4-6-1）（见5.4）：

（4-6-1）           q_j=q_j(q₁₀,q₂₀,…,q_n0；q´₁₀,q´₂₀,…,q´_n0,t₀,t)

                             =q_j(q_j0,q´_j0,t₀,t)，j=1,2,…,n

                          初始条件：t=t₀；q_j0；q´_j0，j=1,2,…,n

在（4-6-1）中，对于每一个解q_j，与初始速度q´_j0之间，具有对应关系，如果这种关系满足如下的条件：

即q´_j0的不为0的广义坐标的解q_j有n个，那么q´_j0，j=1,2,…,n，可以由下面的（7-1）表出：

（7-1）                     q´_j0=q´_j0(q₁₀,q₂₀,…,q_n0,q₁,q₂,…,q_n,t₀,t)

                                       =q´_j0(q₀,q,t₀,t)，j=1,2,…,n

（7-1）中的q₁,q₂,…,q_n就是q´_j0，j=1,2,…,n的解。这就是说，初始广义速度q´_j0，j=1,2,…,n，也可以用初始广义坐标q_j0和时刻t时的广义坐标q_j（拉氏方程中q´_j0的解），以及时间t的函数表出。

       设S是哈密顿（Hamilton）作用量，从（6-5）得（7-2）：

根据（4-6-1）和（7-1），哈密顿（Hamilton）作用量S可以写成（7-3）：

（7-3）                       S=S(q₀,q´₀,t₀,t)，或 S=S(q₀,q,t₀,t)

（7-3）的第二式称为哈密顿（Hamilton）主函数。因此，所谓的哈密顿（Hamilton）主函数，实质上就是用初始广义坐标q₁₀,q₂₀,…,q_n0和时刻t的广义坐标q₁,q₂,…,q_n（拉氏方程中q´_j0的解），以及时间t构成函数的哈密顿（Hamilton）作用量S（7-3）。

（待续）