6.2.1.1保守系统哈密顿原理的证明
2023-11-23 10:15:31
标签： 原创科技著作
分析力学笔记（石拓/著）
6.2.1.1保守系统哈密顿原理的证明
保守系统哈密顿原理的证明，是从拉格朗日（Lagrange）方程（4-5）出发，然后导出导出保守系统的哈密顿（Hamilton）原理（6-5）和（6-6）。
证明：对完整的定常保守系统，其拉格朗日（Lagrange）方程为（4-5）（见4.1.1.2）：
对（4-5）的两边乘变分δqj，并求和得（a）：
然后，对（a）按运动的路径起点t=t1；终点t=t2，经历的时间t进行积分，即（b）：
因为（c）：
（c）代（b），算得（d）：
因为在运动的起终点的变分为0（初始条件），即（e）：
（e）代（d），得（f）：
可以看出，（f）的被积函数就是拉氏函数L=L(qj,q´i,t)，j=1,2,…,n的变分，即（g）：
（g）代（f），得到保守系统的哈密顿（Hamilton）最小作用量原理（6-6）：
其中的I就是哈密顿（Hamilton）作用量（6-5）：
L是拉格朗日函数。
在（6-5）中，由于拉氏函数L是广义坐标函数qj=qj(t)的函数，所以哈密顿（Hamilton）作用量（6-5）是泛函。因此，哈密顿（Hamilton）最小作用量原理可以表述为：物体运动表为泛函
的极值的运动，是真实（客观）的运动。
（待续）
6.2.1.1保守系统哈密顿原理的证明
分析力学笔记（石拓/著）
6.2.1.1保守系统哈密顿原理的证明
保守系统哈密顿原理的证明，是从拉格朗日（Lagrange）方程（4-5）出发，然后导出导出保守系统的哈密顿（Hamilton）原理（6-5）和（6-6）。
证明：对完整的定常保守系统，其拉格朗日（Lagrange）方程为（4-5）（见4.1.1.2）：
对（4-5）的两边乘变分δqj，并求和得（a）：
然后，对（a）按运动的路径起点t=t1；终点t=t2，经历的时间t进行积分，即（b）：
因为（c）：
（c）代（b），算得（d）：
因为在运动的起终点的变分为0（初始条件），即（e）：
（e）代（d），得（f）：
可以看出，（f）的被积函数就是拉氏函数L=L(qj,q´i,t)，j=1,2,…,n的变分，即（g）：
（g）代（f），得到保守系统的哈密顿（Hamilton）最小作用量原理（6-6）：
其中的I就是哈密顿（Hamilton）作用量（6-5）：
L是拉格朗日函数。
在（6-5）中，由于拉氏函数L是广义坐标函数qj=qj(t)的函数，所以哈密顿（Hamilton）作用量（6-5）是泛函。因此，哈密顿（Hamilton）最小作用量原理可以表述为：物体运动表为泛函
的极值的运动，是真实（客观）的运动。
（待续）