数学忆事：牛顿二项式

节选自法布尔的《昆虫记》

　　圆网蛛织网的问题的确很有趣。若不是怕人厌倦，我真愿意把值得写的事都写下来。也许我的简略描述已经有些超量，因此我必须给读者一些补偿。我是否可以说说我是怎样汲取丰富的代数知识，以看清对数网，并成为蜘蛛网丈量者的？你想听吗？这可以让你搁下昆虫的故事，稍稍休息一下。

　　我隐约看见读者表示了同意。以前我的乡村学校带着几分宽容，接待了一些雏鸡和小猪的来访，为什么我那孤独而艰苦的学校就没有这样的趣味呢？我就说说我的学校，也许能使其他求知欲强烈如我一样贫困的人，鼓起勇气来。谁知道呢？　我没有条件在老师的指导下学习。也许我不该抱怨，自学有自学的好处，它不会把人框定在一个固定的模子里，而是由你充分地发挥创造性。野果如果能成熟，味道自然和温室中结出的果子不同，它会在懂得品尝者的唇上留下苦中带甜的味道，有苦味的对比，甜味显得愈加浓烈。

　　如果可以，我真愿意重新开始面对总是不太理解的书本顾问；我宁愿再独自熬夜，对抗顽强的黑暗，直至一抹曙光绽放在黑夜的上空；我愿重新踏上从前走过的艰辛历程。通过学习，把我获得的点滴知识传授给别人，是我惟一的愿望，它始终激励着我，永不放弃。

　　我从师范毕业时，数学知识最为贫乏。开一个平方根，证明球体的面积，对我来说是科学的顶点。偶尔打开一张对数表时，那可怕的、有一大堆数字的对数，让我感到头晕目眩。我只不过才抵达算数的洞穴边缘，就被某种掺杂着敬畏的恐惧感慑住了。关于代数，我一点概念都没有。我知道这个名词，在我知识贫乏的脑子里，这个词是个深奥莫测的疑团。

　　再说，我根本无心去探究这个难懂的词，它像一道还未经品尝就被人断定为难以消化的菜肴。与其去琢磨它，还不如去读维吉尔美丽的诗，尽管我才刚开始读到那首诗！我怎么也想不到，我竟会长期醉心于令我畏惧的代数研究。一个偶然的机会，我第一次上了代数课，是授课而不是听课。

　　有一位年龄与我相仿的年轻人来找我，请我教他代数。他打算学桥梁工程，正在准备一场考试。他来找我，把我这个老实人当成了学识渊博者。啊！天真的求救者，我和他的估计可差远了！他的要求使我大为震惊，经过思考我很快镇静下来。“教代数，”我心想，“真是太荒谬了，我可是一无所知啊！”我考虑了好一会儿，拿不定主意。是该答应他还是拒绝他呢？我在心里不断地自问。

　　干脆答应吧！教游泳的英勇方法就是勇敢地跳进海里，我就带头跳进代数的深渊吧，也许在濒临被淹死的危险时刻，会产生一股力量助我摆脱危险。虽然我对别人所求之事一窍不通，但是无关紧要。我就这样勇往直前，一头扎进黑暗中，我将边学边教。啊！这大胆的想法一下子将我投入了一个我不曾想要闯入的领域；二十岁的自信，真是无与伦比的力量啊！

　　我回答道：“就这么说定了，你后天五点来，我们就开始。”

　　这二十四小时的期限隐藏着一个计划，我有一天的缓冲时间。星期四到了，天气又阴又冷，像这种坏天气，将烤火炉的炉膛上搁满焦炭是件乐事。我一边烤火一边思考。

　　得了，小伙子，你正冒着很大的风险啊！你明天该怎么办呢？如果有本书，必要的话啃它一夜，你还可以勉勉强强备一课，好歹先把那让人发愁的时间填满，然后再看着办，一天一天地应付。

　　可是这本书你没有，跑书店也无济于事，代数论著可不是日用品，让人家进货至少要半个月。可我明天要上课，我已经答应人家了呀。再说，我收入微薄，只剩滚进抽屉角落里的那点钱了，我数了一下有12个苏，这点钱不够买一本书。

　　我该反悔吗？哦，不！我想到了一个办法，这办法的确不太正派，而且近乎偷窃。庄严神圣的代数，请原谅我的小过错吧，我现在就向你坦白。

　　我工作的中学里，生活有点像修道院。由于收入微薄，大多数教职员都住学校的宿舍，在校长的餐桌上吃饭。那位自然科学课的老师，作为领导层的大人物，住在城里。他的宿舍也和我们一样也有两个小间，外加一个露天平台。做化学实验时，令人窒息的气体从平台上散布到室外，他觉得大半年时间在他的屋里上课更方便。冬天学生在壁炉的炉膛前上课，那里有黑板、储气罐，壁炉上有玻璃圆底烧瓶，墙上挂着弯管；此外还有一些柜子，我隐约看见里面有一排书，那是老师上课时查阅的权威论断。

　　我心想，在那些书里应该会有一本代数书。向书的主人借不大可能成功，那位同事会以居高临下的姿态接待我，会把我雄心勃勃的计划当成笑话。我将遭到拒绝，我敢肯定。未来会向我证明我的猜疑是有道理的，到处都有思想狭隘、小心眼、爱妒忌的人。

　　这本书，如果我去借他会拒绝，那就把它拿来好了。今天是假日，那位老师是不会来的，我的房门钥匙几乎和他的一样。

　　我走过去，侧耳倾听，警惕地环顾四周。我把钥匙轻轻地插进锁孔，犹豫了一下，又继续更用力按下去，行了，门开了。我仔细搜查柜子，里面的确有一本代数书，厚达三指宽。

　　我两腿直发抖。啊！可怜的撬锁者，如果你这样人赃并获，可怎么得了啊！然而，一切顺利，我赶紧重新关上门，带着窃来的书回家去。

　　现在，这本神秘的书归我俩了，书名是用阿拉伯文写的，有点秘笈的味道，与天文观测集和炼丹术如同亲兄弟。你将向我展示什么呢？我先随便翻翻，将目光停留在某一景点之前，应该先了解一下全景。书一页一页翻过去，我对它一点也不感兴趣。翻到其中一章，我停了下来，它的标题是：牛顿二项式。

　　这个标题吸引了我。这二项式会是什么呢？尤其是有世界影响的伟大英国科学家牛顿的二项式，会是什么呢？天体力学和它有什么关系呢？我读下去，想弄个明白。我胳膊肘撑在桌上，拇指托着耳根，全神贯注地阅读。

　　让我吃惊的是，我竟然看懂了。那里面有一些以各种方式组合在一起的字母和普通的符号组合，轮流变换着位置，就像文章里有排列、组合和置换。我拿着笔排列、组合和置换。我相信做这种练习是很好的消遣，这是一种用笔算结果来证明逻辑预测，并有助于完善思维的游戏。

　　我心想：“如果代数不比写作难，真是上帝的恩赐啊！”至于牛顿二项式，我必须摒弃幻想，它像可口的奶油蛋糕之后，即将端上桌的难以消化的烘饼。我完全想象不出未来的困难会是什么滋味，当我继续往前走，坚持不懈地与之搏斗时，会陷入怎样的险境。

　　在炉火前，在排列组合中度过的下午，多么美妙啊！夜幕降临了，我心里基本有底了。七点，校长餐桌的开饭铃声响起时，我下了楼，像一个刚被接纳入教的教徒，心中充满了喜悦；交织成科学诗篇的A、B、C簇拥着我。

　　第二天我的学生来了，黑板和粉笔都准备好了，但老师却准备得不够充分。我勇敢地开始讲二项式。我的听众对字母组合挺感兴趣，却一点也没觉察出，我这骇人听闻的变革家，本末倒置地把课程的终点当作起点来讲。我举一些小问题使讲解更富于情趣，需要思考的时候就停下来，积蓄力量以发起新的冲击。　　我们一起研究，为了让他有所发现，我谨慎地将自己的思路告诉他。题目解出来了，这是学生的胜利，也是我的胜利。但我无法明言，在我的内心深处，有个声音告诉我：“既然你能让别人理解，就说明你懂了。”不论他还是我都觉得时间过得很快，过得非常愉快。年轻人满意地离开了，我也一样满意。我隐约发现了一种特别的学习方法。二项式巧妙而简单的排列，足以让我自行决定是否真的从头开始攻读代数书。我用两三天的时间临阵磨枪。加减法不用说，一看就觉得简单；乘法可就难多了。有个公式证明负负得正，这个悖论可让我尝到了苦头！

　　看来是书上对此解释不清，或者更确切地说，是书上的方法太抽象。我读了一遍又一遍，苦思冥想，不明白的还是不明白。这就是书本通常有的缺点，它只能告诉我们印在纸上的内容，什么也不会多说。假如你不懂，它也不会给你任何建议，不会尝试走另一条将你引向光明的路。有时哪怕只是多说一句话，就足以将你重新领上正确的道路，可它却不说，而一味坚持自己的写作方式。

　　听讲课可就强多了！讲话时可进可退，可重复，围绕着难点用各种方法加以解释，直至使不明瞭的问题变得明瞭。而我却偏偏缺少权威人士的教导，缺少这种无与伦比的灯塔指引，在凶险的符号规则的沼泽里，我正在被淹没，却没有希望得到救助。

　　我的学生想必感觉到了。我凭着自己隐约想到的一点线索，试着做了一番解释。“你听明白了吗？”我问道。这等于白问，却有益于节省时间。连我自己都不懂，我相信他也不懂。他答道：“不懂”。也许这老实人在谴责自己的脑筋，对这些卓越的真理顽固不化。

　　“我们试试别的方法吧。”我重新用各种方法证明，学生的眼神是我的晴雨表，告诉我一次次冲锋的进展情况。终于他眼里露出一丝满意的眼神，我成功了。我刚才击中了要害，找到了进攻点。负负得正把它的秘密告诉了我们。

　　我们就这样继续学习，他是被动的接受者，毫不费力地获得思想；我却是艰苦的开路先锋，为了获取真理的声音，击打着书本的岩石，熬了许多夜。我还承担着另一个角色，也并不轻松：我必须对深奥难懂的东西进行粗加工，剥去粗糙的外表以便于理解，使它看上去不那么可怕。有空时我便花上一些时间，我乐于在岩石堆上进行提炼工作。我从中获益匪浅。

　　学习取得了成果，我的学生通过了考试，他被录取了。至于那本偷偷借来的书，早已放回了原位，现在归我所有的是另一本书。

　　在师范学校时，我在老师的指导下，学过一点几何学基础知识。从一开始我就比较喜欢这种教学方法，我由此想象出一种透过纷繁的思绪指导推理的方法。我隐约看见了可避免失足的寻求真理的方法，因为向前走的每一步都有已经迈出的坚实步伐做后盾；我猜测，几何学的极致完美，就在于它是一种智力训练。

　　应用已经证明的定理，并不重要，我感兴趣的是证明的过程。人们从非常明朗的一点出发，渐渐地进入阴晦，然后阴晦又变得明朗，提供新的线索，将人们引向新的高度。这是从已知到未知的逐步演进，我希望在前面的灯光照耀下，继续探索照亮后继道路的那盏灯。

　　几何学应该教我思维的逻辑步骤，它应该告诉我如何将难题分解成若干部分，一个一个加以解决，结合各部分的力量，就能推动那块无法直接攻克的巨石；它还应该教我如何形成条理，这种理清头绪的基础。

　　如果说我从没写过让读者费解的文章，应该归功于几何学这位教人思维艺术的杰出导师。当然，它并不提供思想这朵精美的花，人们不知它怎样开放，也并不能在任何土壤里栽培；但是它能理清复杂的头绪，删除繁杂，平息纷乱，滤去浑浊的杂质，给人以明晰这种比修辞和比喻更高级的产物。

　　作为笔耕者，我的确受益匪浅，我很愿意回忆见习期的那些美好时光。那时一到课间休息时间，我就躲进校园的一个角落，膝上铺一张小纸片，指间夹支铅笔，推导直线聚集在一起时的特性。别人在周围玩耍，我却沉醉于棱柱中。也许我该练练三级跳远锻炼腿力，翻翻跟头锻炼腰部的柔韧性。我认识一些擅长翻跟头的人，他们比思想家成功得多。

　　刚开始教书时，我已经较好地掌握了几何学基础知识，必要时我还能运用直角尺和标尺，但我所了解的仅限于此。计算一根树干的体积，测量一个木桶，测出从一点到无法到达的另一点的距离，在我看来已是几何学知识的最高飞跃。还能有更高的飞跃吗？我连想也没想过，直到遇上一个偶然的发现，我才明白，我所开垦的只是广阔领域里微不足道的一角。

　　当时我任教已两年的那所中学里，刚把班级一分为二，还增加了大量的员工。新来的教师和我一样都住在学校，我们都在校长餐桌上用餐。我们形成了一个“蜂群”，空闲时在各自的蜂房里酿造代数和几何学、历史和物理、希腊语，特别是拉丁语的蜜，有时是为下一个班备课，而更多的时候是为了获得更高的学位。大学文凭缺乏多样化，我们所有的同事都是文学业士，没有人获得更高的文凭。如果可能，为了脱颖而出就必须进一步武装自己，大家都顽强努力地工作。我是这个劳动群体中年纪最轻的，但我也和别人一样渴望增长自己的知识。

大家经常串门，相互讨教难题，谈谈天。我的一个邻居以前当过司务长，为了逃避厌倦的军营生活来学校当了老师。作为连队的文职人员，他曾与数字打过点交道，于是雄心勃勃地想获得数学业士文凭。看来是军营生活使他的头脑僵化了。据我那些亲爱的同事们，那些爱传播他人不幸消息的聪明人说，他参加了两次考试，两次都没通过。他顽强地重新拿起书本，没有因两次失败而气馁。这倒不是因为他被数学的壮丽所吸引，唉，根本不是！他渴望获得这个学位，只是因为它将有益于实现自己的计划。从经济的角度，他希望能自己支配蔬菜和黄油。仅仅是为了满足求知欲而对学习入迷的人，和这位追逐文凭像追逐快到嘴的肉的猎人，本来是不可能相互理解的。哦。偶然的机会却促成了我和他相交。

　　我好多次在夜晚碰上那个人，烛光下，他胳膊肘撑在桌上，双手托着额头，对着一本笔记本久久地沉思，本子上密密麻麻地记着费解的符号。有时他想到了什么，便提起笔飞快地写下一行字。那是些组合在一起的大小写字母，在X和Y中间还夹杂着一些数字，式子后写着等号和零。然后他又闭上眼睛，继续思考。之后他又按另一种顺序写下一行字母，后面照样等于零。他就这样奇怪地写了一页又一页，每一行的结果都是零。

　　一天我问他：“你列这些等于零的式子做什么？”这位来自军营的数学家嘲讽地看了我一眼，狡黠的眼角纹仿佛在说我无知得可怜。然而，这位老是写零的同行，并没有过分地显示自己的优越，他告诉我他正在做解析几何题。

　　这个词对我产生了奇怪的影响。我没说什么，心想：还有一个更高级的几何学，专门教尽是X、Y的字母组合。我的邻居久久地沉思，双手托腮，力图发现隐藏在天书里的意义；他看见他的运算式代表的图形在空中舞蹈。他发现了什么呢？以各种方式排列在一起的字母符号，怎么能代表只有思想之眼才能看见的各种图形呢？我简直被搞糊涂了。

　　我说：“什么时候我也来学解析几何，你愿意帮助我吗？”

　　他带着一丝对我的愿望不大相信的微笑说道：“我很愿意。”

　　这无所谓，那天晚上我们定下协约，我们将一起开垦代数这块园地，以及作为数学业士基础科目的解析几何。他的深思熟虑和我这年轻人的热情将结合在一起。我当时的主要任务是取得文学业士文凭，获得此文凭后我们就立即开始。很久以前有一个规定，学理科之前必须先学一些重要的文学作品。在接触化学药品和机械操纵杆之前，必须先接触古代的先哲，先与贺拉斯、维吉尔或忒奥克里托斯和柏拉图对话。这些准备工作只会使思维变得更敏捷。随着进步带来的需求，人的欲望变得越来越贪婪，已经改变了一切。符合规范的语言见鬼去吧，生意重于一切！

　　速成本应该符合我的急性子，我承认，我那时低声抱怨在接触正弦和余弦之前，必须先学拉丁语和希腊语。如今由于年龄和经验的增长而变得成熟的我，对此有了更清醒的认识，我的看法变了。我为自己的文学底子薄，没能得到更好的引导并深入地学习而感到遗憾。

　　为了稍微弥补这方面的缺陷，我虔诚地回过头来读这些通常几乎只有旧书店才卖的古书。年轻时利用夜晚用铅笔作批注、令人敬仰的书页啊，我又找到了你们，你们现在成了我的朋友。

　　你们告诉我所有握笔杆的人都必须承担的责任：要言之有物，并能引人入胜。如果文章的标题属于自然科学范畴，通常趣味性总是有保障的；难中之难是删去让人望而生畏的字眼，使它显得可爱。

　　有人说真理赤裸着来自井底。即使如此，我想，穿着体面对它更有好处。它要的不是借自修辞学的华丽修饰，但至少得有一片遮盖私处的葡萄叶。惟有几何学家有权剥夺它那件简单的衣饰，对于几何定理，只要清晰就已经足够。

　　其他学科，尤其是博物学，有责任在真理的腰间系上一条优美的薄纱长裙。

　　假如我说：“浸礼会教徒，把我的拖鞋给我。”我用一种直白的、不太富于变化的语言来表达。我非常清楚自己在说什么，我的话也能为人所理解。某些人以为，而且是为数众多的人认为，这种简单的方式是最好的。他们向读者谈论科学，就像跟浸礼会教徒谈论拖鞋似的。卡菲尔人的句法并不令他们反感，不要跟他们谈选词的重要性以及词序的得体性，更别跟他们讲韵律结构的悦耳与否，他们认为这一切都幼稚可笑，是缺乏远见者才会注重的细枝末节！

他们也许有理，浸礼会教徒的语言省事又省力。我可不想图这种便利；我认为思想需要明晰而朴实形象的语言来表现。要想简洁明了地阐明思想，往往需要煞费苦心选择恰当贴切的词句。有的文章用词隐晦，粗俗平淡，有的用词色彩鲜明，有如画笔在灰色画布上涂抹的色块。这些构成画面的词，这些引人注目的线条，怎样才能得到，怎样才能将它们组合成文法讲究又悦耳的语言呢？

　　没人教过我这种艺术，而且，在学校是否就能学到呢？很值得怀疑。若不是我们血管里流淌着激情和灵感，光去翻阅词汇表是没有用的，需要的词不会来到笔端。求助于什么样的老师，才能启发潜藏在我们内心的萌芽，使其得到发展呢？应该求助于阅读。

　　我年轻时一直是一位虔诚的读者，但我很少注意语言的细腻之处，因为我那时不理解。很长时间以后，差不多十五岁时，我才隐约感到词有神韵。就音韵节奏而言，一些词比另一些词更令我满意；它们在我的头脑里构成了清晰的画面，以自己的方式为我描绘事物。有了形容词的渲染和动词赋予的生气活力，名词变得栩栩如生，我终于能看得见它所表达的事物。当我在无人指导的阅读中，有幸读到一些易懂的上乘之作时，我便渐渐地发现了文字的魅力。