说明  √ 是根号，后面括号里面的代数式都是在根号下

1、设函数f(x)=log₂(√（1+x²）-x),若对任意的x∈(-1, +∞),不等式

f(x- Ina) +f(2x+4) <0恒成立，则a的取值范围是

  解：易知函数f(x)为定义在R上单调递减的奇函数，

所以 不等式变形为f(2x+4)< -f(x- lna)=f(lna-x)

即，2x+4≥Ina-x,

3x +4≥Ina   1≥Ina, 0< a≤ e，即a的取值范围是(0,e]

  2  已知函数f(x)=m-2/（1+2^X）是定义在R上的奇函数，

 (1)求实数m的值;

(2)如果对任意x∈R,不等式f(2a+cos²x)+f(4sinx-√（2a-1）-7)<0恒成立，

求实数a的取值范围。

  解  因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=m-1=0   m=1.

 （2）设x1  把x1,x2 带入，证的 f(x1)- f(x2)<0，f(x)是定义在R上的增函数

   故  f(2a+cos²x)+f(4sinx-√（2a-1）-7)<0

    得f(2a+cos²x) )<- f(4sinx-√（2a-1）-7）

      2a+cos²x<- 4sinx+√（2a-1）+7

     2a-√（2a-1）<- cos²x+ 4sinx-7

      2a-√（2a-1）2 + 4sinx-6

      2a-√（2a-1）<3  令t =√（2a-1）

     不等式化简为 2t²  -2t<3 解不等式 得 1/2

3  已知函数f(x)=(t²--2t-2)e^x- 1/e^x是定义域为R的奇函数。

 (1)求l的值，并写出f(x)的解析式;

(2)判断f(x)在R上的单调性，并用定义证明;

(3)若函数g(x)=e^2x+1/e^2x-2k f(x)   在[0, +∞)上的最小值为-2，求k的值。

   解  f(x)是定义域为R的奇函数 

      f0)=t²--2t-2- 1=0   t =-1 或t =3

     f(x)= e^x —e^-x

(2)  易证f(x)在R上是增函数

(3)   g(x)=e^2x+1/e^2x-2k(e^x —e^-x )= e^2x+e^-2x-2k(e^x —e^-x )

令  e^x —e^-x =t0 

   则函数g(x)化为h(t)=t² -2kt+2

1)当k<0时， h(t)的最小值为h(0)=2≠-2,不符合题意;

2)当k0时，h(t)的最小值为h(k)=-k²+2=-2, 解得k²=4, k=±2 

 综上所述，k的值为2.

         注 h(t)在定点（k, (4ac- b² ）/4a)有最小值

4   已知函数f(x)=log_1/2  (1-ax)/( x-1)的图像关于原点对称，其中a为常数。

(1)求a的值;

(2)当x∈(1, +∞)时，f(x)+log_1/2 (x-1) 恒成立，求实数m的取值范围:

 (3)若关于x的方程f(x)=log _1/2 (x+k)在[2,3]上有解，求k的取值范围。

 解  f(x) 关于原点对称，所以f(x)是奇函数

 f(x)+ f(-x)=0   log_1/2  (1-ax)/( x-1)+ log_1/2  (1+ax)/(- x-1)=0

   (1-ax)/( x-1)×(1+ax)/(- x-1)=1  得a²x² -1=x²-1  

  ∴ a² =1 得  a=1 （无意义 舍去）或-1   所以a=-1

 f(x)=log_1/2  (1+x)/( x-1)

(2) f(x)+log1 (x-1) 恒成立

  log_1/2  (1+x)/( x-1) +log_1/2 (x-1)

   log_1/2  (1+x)   得  x> (1/2)^m-1  而x>1  故(1/2)^m-1<1  即 m>-1

(3)   f(x)=log _1/2 (x+k)在[2,3]上有解

即 log_1/2  (1+x)/( x-1)=log _1/2 (x+k)在[2,3]上有解

 则 (1+x)/( x-1)= (x+k)  得k=1+2/(x-1）-x  

令  g(x)= 1+2/(x-1）-x   设2 ≤ x1 < x2  ≤3,

g(x1)-g(x2)= 2/(x1-1) -2/(x2-1)-x1+x2=（x1-x2）[1+2/((x1-1) (x2-1) ]<0

所以g(x1﹥g(x2)   g(x)是减函数 

g(x)值域为[-1,1]

k∈[-1,1],即k的取值范围是[-1,1]

  5  设函数f(x)=log1/2(1-ax)/(x-1)为奇函数,a为常数。

1、求a的值

2、证明f(x)在区间（1，+∞）内单调递增,

3.若对[3,4]上的任意x值,不等式f(x)>0.5^x+m恒成立,求实数m的取值范围

(3)   以F(x)=log2 ((x-1)/(x+1))   x>1时，(x-1)/(x+1)<1 所以 f(x)递增

  令g(x)=-(1/2)^x 则g(x)为[1,+∞]上的增函数

则有G(x)=f(x)+g(x)在[1,+∞] 递增

故G（x）在[3,4]上最小值为G（3）=f(3)+g(3)=-9/8 ∴m<-9/8