已知f(x)是奇函数，在区间（－∞，0）是单调减，且f(2m² +m） f(2m-2)>f(0)

预备题

 1  已知函数f（x）是定义域在r上的奇函数，且在区间（－∞，0)上是单调递减

求满足f(x²+2x﹣3)大于f(﹣x²﹣4x+5)的x的集合

  解  因为f（x）为奇函数，且在（-∞，0）单调减

所以f（x）在R上单调减

故f(x²+2x﹣3)>f(-x²-4x+5)等价于x²+2x﹣3<<span style="font-size:12.0pt; font-family:宋体;mso-ascii-font-family:Calibri;mso-ascii-theme-font:minor-latin; mso-fareast-font-family:宋体;mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-hansi-font-family: Calibri;mso-hansi-theme-font:minor-latin">﹣x²﹣4x+5

解得﹣4

 2  已知奇函数f（x）在（-∞，0）上是单调减函数，且f（2）=0，

  则不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集是多少？

   解  不等式（x-1）f（x-1）＞0化为

同正号  x＞1   f(x-1)＞0，

同负号或x＜1   f(x﹣1)＜0．

 f（2）=0，∴f（﹣2）=0，且f（x）在（-∞，0）上是单调减函数，

∴x＞1   f(x-1)＞0 得f(x-1)＞f（2）  x-1＜2，

 或x＜1  f(x﹣1)＜0 得 f(x-1)＜ f（2） x-1＞2，

解得1＜x＜3或-1＜x＜1．

∴不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集为{x|1＜x＜3或-1＜x＜1}

   变形题

   奇函数f(x)在区间（-∞,0）上为减函数,f(2)=0,则不等式

  （x-1)f(x+1)>0的解集

  解  因为 奇函数 f(x)在区间（-∞,0）上为减函数,

所以f(x)在区间（0,∞）上为减函数.（奇函数关于原点对称）

f(2)=0 并且 f（-2）=0

说明两点

1. 当x>2或者-20 .

2. f（2）= f(-2)=0 （奇函数关于原点对称）

所以要（x-1)f(x+1)>0 的（x-1)和f(x+1)同号

（1）同正号（x-1)>0即x>1,这时x+1>2,f(x+1)<0,不成立.

（2）同负号 （x-1）<0即x<1,这时x+1<2,只有-2f(x+1)<0,所以,-3

  练习

1奇函数f（x）在定义域[﹣2，2]上单调递减，解不等式

  f（1﹣m）+f（1﹣m²）＜0

解   f(x)是奇函数，f(x)= ﹣f(-x)

    f（1﹣m）＜- f（1﹣m²）

    f（1﹣m）＜f（﹣1+m²）

    1﹣m＞﹣1+m²      m² + m-2＜0   -2＜m＜1 

2  已知f(x)是奇函数，在区间（－∞，0）是单调减，且f(2m² +m）+f(2m-2)>f(0),

  解  f(x)是奇函数关于原点对称，故f(x)在区间（0，∞）也是是单调减

      f(0)=0

    f(2m² +m）+ f(2m-2)>0

 f(2m² +m）>-f(2m-2)   f(2m² +m）>f（-2m+2）即2m² +m）＜-2m+2

2m² +3m-2＜0     -1/2＜m＜2

  函数   呵呵