想象——是人在头脑里对已储存的表象进行加工改造形成新形象的心理过程，也可理解为对于不在眼前的事物想出它的具体形象。由此可知，由于人类始终局限于“三维世界”里，对于“四维空间”没有任何一点具体的形象感知与经验，因此也就无法凭借想象来认识“四维空间”及其事物，只能通过抽象的逻辑来推知一些性质。

    下面就来温习一下通过逻辑推理对“四维空间”的一些认识。由于自己在这方面所知甚微，认知肤浅，属于是“小学生”级别的。

    “三维空间”可以认为是由长、宽、高三个维度所构成的空间，这三个维（X、Y、Z）是两两互相垂直的。“四维空间”是指，在“三维空间”中再加入一维（A），且与原来的三个维也都两两互相垂直。显然，这一维（A）我们在三维空间里是没法画出来的，于是，我们对于“四维物体”的形象也就无从想象。（图一）

             

                               图一：上面右图，欲通过三维坐标系（X、Y、Z）的焦点，再添加一根A轴，

且与X、Y、Z都两两互相垂直，显然在三维空间中是没法建立的。

 

    尽管如此，但我们可以通过逻辑推理来得到“四维空间”的某些性质 ，其中“类比法”是最重要的方法。

    先让我们来看看“二维空间”的人（二维人）是怎样认知“三维正方体”（超正方形）的。（图二）

图二：三维正方体

   

    二维人只对平面上的东西具有直观的形象认识，而对于三维物体，比如三维正方体（图二），就无法想象了，只能凭借逻辑推理求得一些认知。

    二维人这样推理：首先假定存在一个更高级的三维空间，而第三维与二维平面是垂直的，于是从平面正方形的4个顶点出发，向第三维延伸出去4条棱（棱长等于平面四方形的边长），而且它们是互相平行的，然后把这4条棱的各个端点连接起来，便又组成了一个正方形；同时这4条棱分别与原来的正方形以及新构成的正方形的各条边又各组成4个正方形（侧面）；于是，总共就有6个正方形——对于二维人来说，这是个“超正方形”。这样，二维人对这个超正方形（三维正方体）得到这样一些抽象的认识：它由6个正方形（二维）构成，有8个顶点、12条棱。（图二、图三）

    很显然，对于这个超正方形（三维正方体），二维人无法在二维平面上画出来，也想象不出它具体的三维立体形状。

    再来看看这个超正方形（三维正方体）在二维平面上的投影：（图三）

图三：三维正方体在二维平面上的投影

 

    从这个平面投影图上，二维人多少看到了这个三维正方体的一些特征，可数出：8个顶点、12条棱、6个变形的面（要想着，其实它们都是大小相同的正方形）。（图三，右）

    倘若把这个三维正方体旋转起来，那它在二维平面上的投影状态如下：（图四）       

                              

图四：旋转的三维正方体的二维平面动态投影图

   

    二维人惊奇地看到，线条竟然可以轻易地互相穿越、变化！简直不可思议！（图四）

    还有，再来看看三维球体（对二维人来说是“超圆形”）来回穿过二维平面同一处时的情景：（图五、图六）

图五：三维球体（超圆形）穿越二维平面示意图

  

图六：三维球体（超圆形）来回穿越二维平面动态投影图

   

    二维人看到这么个忽大忽小、时而又不见了的变化圆形（图六），惊讶万分！他能构想出三维空间里的立体球形吗？

    正方体、球体可说是三维空间里最简单的物体，但二维人也只能凭逻辑推理了解到它们的一些特征而已，却难以想象出它们的具体形状如何。倘若面对更加复杂的三维物体或高级生命，那二维人必然更加丈二和尚摸不着头脑了！这实在是因为他们的眼界、思维被二维世界禁锢住了的缘故！

    现在接下来，作为我们“三维空间”的人，可沿用上述二维人的思路，采用“类比法”来推知“四维正方体”（对于我们三维人而言，它是个“超正方体”）的一些性质。

    我们这样来思考：从正方体8个顶点向垂直于三维的第四维方向延伸出去，如图七所示：

图七：想象正方体8个顶点向垂直于三维的第四维方向延伸出去

    延伸长度等于正方体的棱长，这时12条棱也相应地跟着移位出去，于是，它们延伸出去的端点便又组成了一个正方体；同时它们与原来正方体6个面以及新构成的正方体6个面的各条棱又分别组成了6个正方体（暂且就叫它们为“侧体”吧），这就像正方形有4条边，从而形成了正方体的4个侧面的道理一样，正方体有6个面，从而形成了超正方体的6个“侧体”；这样一来，原来1个正方体和延伸出去而新构成的1个正方体，再加6个“侧体”正方体，总共就有8个正方体。最后，我们三维人即可抽象地得知这个超正方体（四维正方体）的一些特征：它是由8个正方体（三维）构成，有24个面（正方形）、16个顶点、32条棱。（图八）

    就像二维人无法得知三维正方体的具体形状一样，我们三维人也无法在三维空间中画出这个超正方体（四维正方体），也就无从想象它在四维空间里会是怎样的形态。

    类似于三维正方体在二维平面上的投影，下面，我们来看看超正方体（四维正方体）在三维空间中的投影，并且依然沿用“类比法”来理解它的一些特征。（图八）

 

 

图八a：超正方体在三维空间里的投影图

 图八b：超正方体在三维空间里的投影图

    从上面的投影图中，我们可以看到，超正方体有16个顶点、32条棱、24个变形的面（图八a，要想着，其实它们都是大小相同的正方形）、8个变形了的正方体，有3种形态（图八b，褐红色显示的：中心一个、最外面一个、介于里外之间的一个。要想着，其实它们都是大小相同的正方体）。（图八a、图八b）

    我们来看看，这个超正方体在三维空间中的展开图是怎样的。我们不妨先看一下，三维正方体的6个面展开在二维平面上的一种展开图（图九），有6个正方形：

 

图九：三维正方体在二维平面上的展开图，有6个正方形

   

    接下来，类比平面上展开三维正方体，我们即可推想超正方体在三维空间中的一种展开图（图十）：

 

图十：超正方体在三维空间中的一种展开图，有8个正方体

 

    一共有8个正方体，其中一个正方体被藏在三维展开图的里面了，这很奇怪吧！这8个展开的正方体在三维空间里，无论你怎么折叠也不能组成一个超正方体的，它们必须在四维空间里折叠才能恢复原状，这就好比二维人，怎么也无法明白那6个展开的正方形，是要在三维空间里才能折叠而恢复正方体的道理一样。

    如果把这个超正方体（四维正方体）旋转起来，那它在三维空间上的动态投影非常奇特：（图十一）

 

图十一：超正方体旋转时在三维空间里的动态投影图

 

    令人万分吃惊的是，各个面竟然互相随意穿越，演绎着神话般的穿墙术！（图十一）

    现再将这个超正方体穿过三维空间，我们三维人会看到如下的截体动态变化：（图十二）

 

图十二：超正方体穿越三维空间时的截体动态图

 

    假如不告诉你这是个超正方体（四维正方体），鬼相信你能看得出！（图十二）

    另外，倘若有个超球体（四维球体），那它穿过三维空间的截体投影会是怎样的呢？是个时隐时现、时大时小而变化的三维球体（图十三）：  

图十三：超球体穿越三维空间时的截体动态图

   

    你或许觉得，这个超球体穿越三维空间时的截体变化很简单，然你能想象得出它在四维空间里的确切模样吗？若能，你非超人不可！（图十三）

    由逻辑推知，超正方体及超球体应该算是四维空间里最简单的物体了吧，然而令人十分遗憾而沮丧的是，我们费尽九牛二虎之力也只能抽象地推断出它们的一些特征罢了，而根本无力想象出它们在四维空间里确切的形状如何！假如四维世界真的存在超自然高级生命，作为眼界及思维都被三维世界禁锢住的我们，哪有超强本领能想象得了他们？！恐怕连鬼神和上帝都不能啊！

    现在，运用现代数学，可以建立起更多维（N维）的抽象空间模型，这为现代物理学提供了强大的理论工具，使当代物理学家们得以探索到了11维的物理世界——尤以天才而伟大的天体物理学家史蒂文•霍金为最高代表。

    可见，尽管人类的想象能力有限，但是通过抽象的逻辑手段仍然可以不断地发现与认识未知世界！