让学习真正发生

——“平均数”教学实践与思考

                               （2017版）

 

教学思考：

    平均数是反映一组数据集中趋势的最常用的统计量，也是小学数学统计教学的重要内容之一。

   在以往的教学中，不少教师侧重于让学生从算法的角度来理解平均数的概念，即侧重于教会学生计算所给数据(有时甚至是没有任何统计意义的抽象数)的平均数，认为学生会套用公式进行计算，能应对变式题目就算达到学习目标了。因此，教学设计着眼于变换各种条件和情境，要求学生从求平均数常用的数量关系中找出相对应的总数与份数，算出平均数。但是，学生会用“总数÷份数=平均数”计算出平均数了，就真的理解平均数的意义了吗？

    课前调研发现：90%以上的学生已经会用“总数÷份数”计算平均数，但只有不到10%的学生能比较含糊地说出平均数的含义；绝大多数学生缺乏用一个数来代表一组数的经验；对于平均数是小数的情况，如“小区里平均每户有2.5人”，几乎所有学生都不能理解，认为此说法是错误的，因为“怎么可能有0.5人呢？”。看来，“会计算”并不代表“真理解”。

   事实上，偏重算法的教学容易将平均数的学习演变为一种简单的技能学习，而忽略了平均数的统计学意义。那么,什么是平均数的“统计学意义”呢？经历怎样的数学活动才能让学生更好地体验、理解平均数的统计学意义呢？为便于理解，又该怎样用儿童语言描述平均数的统计学意义呢？这就成为笔者实践探索的重点问题。

    平均数的统计学意义是它能刻画、代表一组数据的整体水平（一般水平）。也就是说，平均数的实质是用一个数代表一组数的整体水平（一般水平）。平均数不同于原始数据中的每一个数据(虽然碰巧可能等于某个原始数据)，但又与每一个原始数据相关，代表这组数据的整体水平。要对两组数据的整体水平进行比较，就可以比较这两组数据的平均数，因为平均数具有良好的代表性，不仅便于比较，而且公平。当然，平均数也有它的局限性（这也是它的特性），平均数与每一个数据都有关，很敏感，易受极端值的影响。

   基于上述内容研读与学情分析，笔者摸清了学生学习“平均数”的真实起点与本课重点需要解决的问题，弄清了教学究竟要把学生带向何方。

教学过程：

一、记数游戏——认识“平均数”

    出示：

    “记数游戏”规则：每次会出现10个数字，仔细观察2秒钟，看你每次能记住几个数字。

    1、师生一起玩三次，让学生记录自己每次记住的数字个数。

   （设计意图：以往的教学引入以“比赛”情境居多，用平均数解决胜负的公平性，以此凸显平均数具有“良好的代表性”，体会平均数产生的必要性。比赛情境确实能够吸引儿童的注意力，激发探究的兴趣。但实际上，真实的比赛胜负是由赛前制定的规则决定的，比赛后再来讨论算法，反而违背了比赛的公平性。因此，笔者在课的起始环节选用并改造了北师大版教材中的“记数游戏”情境，由游戏情境引出数据分析，以此让学生经历平均数的产生过程。同时，学生的参与也为接下来的数据分析提供了更为丰富的素材。）

2、出示：欢欢和乐乐比赛“谁的记数水平高”

    （1）欢欢3次记住数字的情况统计表

次数	第一次	第二次	第三次
记住数字的个数	5	5	5

    师：还真巧，欢欢三次都记住了5个。如果用一个数来代表欢欢记数的整体水平，用什么数比较合适？为什么？

    生：三次都是记住了“5个”，就用5来作代表。

（2）乐乐3次记住数字的情况统计表

次数	第一次	第二次	第三次
记住数字的个数	5	4	9

    师：乐乐三次记住的个数都不相同，又该用哪个数来代表乐乐记数的整体水平呢?（同学们意见不一）

   （设计意图：精心设计了欢欢的三次记忆数据都是“5”，目的是让学生凭直觉体验平均数的代表性；而乐乐的三次记忆数据分别是5、4、9，到底哪个数据能代表乐乐记数的一般水平呢？自然激发了学生的认知冲突。）

    师：能不能用“9”作代表呢？

    生：用9作代表太大了，对欢欢“不公平”。

    师：那能不能用“4”来作代表呢？

    生：用4又太小了，对乐乐“不公平”。

    师：9太大，4太小，那能不能用“5”来作代表呢？

    生：也不能，因为4只比5小1，而9却比5大4。应该用平均数6作代表，比较公平。

    师：哪里来的6？

    生：（4+5+9）÷3=6（个）先求出三次记住的总个数，再用总个数除以3次，就是平均数。（板书：总数÷次数 = 平均数）

    生：还可以从9里拿走1个给5，拿走2个给4，最后它们都变成6了。

    出示：象形统计图，动态呈现“移多补少”的过程

    师：数学上，像这样从多的里面移一些补给少的，使得每个数都一样多，这叫“移多补少”。（板书：移多补少）其实，无论是“移多补少”，还是“总数÷次数”，目的只有一个，就是使原来几个不相同的数变得同样多。

    （设计意图：计算平均数通常有两种方法，即“移多补少”和“总数÷份数”，每种方法的教育价值各有侧重点，其核心都是强化对平均数意义的理解，而非仅仅计算出结果。教学中，将“移多补少”作为平均数计算结果的解释，同时也将其作为一种简单数据求平均数的算法。利用象形统计图的几何直观，通过动态的“移多补少”的过程，验证平均数确实能够代表一组数据的整体水平。这样做，强化平均数的产生过程，是对平均数能刻画一组数据的整体水平的进一步直观理解，强化对平均数意义而非算法的理解。）

    师：不知大家发现没有，很奇怪呀!这里的平均数6是乐乐第一次记住的数字吗？（不是）是他第二次、第三次记住的数字吗？（不是）乐乐哪一次也没记住6个数字呀？那平均数6究竟代表的是什么呢？

    生：代表的是“平均”的数。

    生：代表的是乐乐的平均水平。

    生：代表的是他的整体水平。

    师：是的，“6个”是三次的个数“匀”出来的，平均数6代表的是这三次的整体水平或者平均水平（板书：用平均数代表一组数的整体水平）

   （设计意图：通过不断地追问：“平均数6代表的是什么？”，帮助学生理解平均数只刻画整体水平而不是真正的其中某一次记住的个数，从而强化了平均数的统计学意义。）

 

二、看图探究——发现并解释“平均数”的性质

    师：观察这幅统计图，你还能发现什么规律吗？

    小组讨论，全班交流。

    生：我发现平均数6比最大数9小，又比最小数4大。

    师：平均数会比最大数还要大吗？为什么？

    生：不可能，因为要把最大数多的移给少的才是平均数，最大数就会“变矮”。

    师：平均数会比最小数还要小吗？为什么？

    生：也不可能，因为其它数都比它大，移一些补给它以后，它就“长高”了，才是平均数。

    师：看来，平均数一定在最大数和最小数之间。（板书：最小数﹤平均数﹤最大数）

    生：我还发现,5比6少1,4比6少2，一共少了3个，9比6一共多了3个。

    师：你的意思是，比平均数多的数加起来跟比平均数少的数加起来一样多。知道为什么会这样吗？

    生：因为比平均数多出来的部分要补给比平均数少的部分，正好补齐。

    生：这样才能“填平”。

   （板书：比平均数“多”的和等于比平均数“少”的和）

    师：乐乐想再玩一次“记数游戏”，想想看，如果加上第4次的成绩，他四次记数的平均数跟前三次的平均数相比，会有变化吗？可能出现哪些变化？

    小组讨论，全班交流。

    生：如果记住的个数比6小，平均数会变小；如果记住的个数比6大，平均数会变大。

    师：有可能平均数不变吗？

    生：有可能，当乐乐第四次记住6个的时候，平均数就会不变。

    课件演示，借助统计图的几何直观，验证学生的想法。

    师：通过刚才的讨论，你们觉得平均数有什么特点？

生：数变了，平均数也会变。

    师：是的，平均数很敏感（板书：敏感），一组数据中每个数据的变化都会影响到平均数。如果这组数据中有特别大或者特别小的数据，对平均数的影响会更大。为了消除掉平均数的“小毛病”，人们在生活、工作中应用平均数时，就制定了一些规则。

    出示：体操比赛规则

    体操比赛都是由裁判打分的，为了保证比赛的公平、公正，裁判打完分后，需要去掉一个最高分和一个最低分，剩下裁判的平均分才作为运动员的最后得分。

   （设计意图：借助统计图的几何直观与“移多补少”，引导学生发现并解释平均数的取值范围，以及各数据与其平均数离均差的代数和为0的性质。通过对教学材料的适度引申，启发学生感悟任何一个数据的变化都会引起平均数的变化，尤其易受极端数据的影响，渗透随机思想，体会平均数的敏感性，并初步体会平均数并非“万能”。）

三、应用练习——深化理解“平均数”

    1．算一算，比一比

    师：请大家计算一下自己三次记数的平均数，比一比谁的水平高。

    生独立计算后，全班交流。

    生：老师，计算我的平均数，用22÷3，除不开。（还有不少学生也嚷嚷着“除不开”）

    师：我们用计算器试一试。

    演示用计算器计算“22÷3”，发现结果是“小数”。

    师：平均数可以是小数吗？平均数是7.3个有意义吗？

    生：平均数可以是小数，7.3个的意思是平均每次记住了7个多、8个不到。

    生：平均数是总数除以次数算出来的，所以结果可能是小数。

    师：是的，平均数代表的是一组数的一般水平，可以是小数。

2．辨一辨，说一说：

    （1）学校篮球队队员的平均身高是160厘米，篮球队员壮壮的身高有可能是155厘米吗？（   ）

    生：有可能。

    师：不对呀!不是说队员的平均身高是160厘米吗?

    生：平均身高160厘米，并不表示每个人的身高都是160厘米。万一壮壮是队里最矮的一个，当然有可能是155厘米了。

    生：平均身高160厘米，表示的是篮球队员身高的一般水平，并不代表队里每个人的身高。壮壮有可能比平均身高矮，比如155厘米，当然也可能比平均身高高，比如170厘米。

   出示：篮球队员集体照，印证同学的说法。

 

 

 

 

     师：看来，平均数代表的是一组数据的一般水平，并不是其中的一个数据。

    （2）池塘平均水深120厘米，亮亮想：我身高155厘米，下水游泳一定不会有危险。（   ）

    生：不对!

    师：为什么呀？亮亮的身高不是已经超过平均水深了吗?

    生：平均水深120厘米，并不是说池塘里每一处水深都是120厘米。可能有的地方比较浅，只有几十厘米，而有的地方比较深，比如180厘米。所以，亮亮下水游泳可能会有危险。

    师：说得真好!想看看这个池塘水底下的真实情形吗?

    出示池塘水底的剖面图，印证同学的说法。

 

 

 

 

    生（很惊讶）：原来是这样，真的有危险!

   （3）有新闻报道：“上海市平均每户家庭的人口为2.5人。”请你想一想，可能会出现“2.5人”吗？

    生：不对，怎么可能出现2.5人呢？没有半个人。

    生：可能有2个大人1个小孩。

    师：小孩算半个人吗？

    生（笑）：再小的小孩也是一个人哪！

    生：哦，我明白了！人家说的是“平均每户”，2.5是个平均数，代表的是整体水平，所以可以是小数。

    生：这个平均数是用总人口数除以户数算出来的，除不尽，就写成小数了。

    师：是的。2.5人并不是具体哪一户的人口数，它代表的是上海每户家庭人口数的平均水平。

   （设计意图：学生是否真正理解了平均数，还要看能否在不同情境中运用平均数，能使用它来解决实际问题。如果学生能在稍复杂的背景下运用平均数的概念解决问题，说明学生就初步理解了平均数，而且也更容易感受到平均数的实际应用价值。为此，教学中精心设计了“算一算、比一比”、“辨一辨，说一说”的应用练习，把“平均数”与真实的生活情境相连接，在解决现实问题的过程中应用平均数，体验平均数，从而更深入地理解平均数的意义。）

四、课堂总结。