“与其学数学，不如学数学化”

                               ——六年级“工程问题”教学札记

                  北京亦庄实验小学   牛献礼

   数学模型是“借用数学的语言讲述现实世界的故事”，是现实世界的简化而又本质的描述。利用数学方法解决实际问题时，首先需要进行的工作就是建立数学模型，建立数学模型解决实际问题的过程，就是将实际问题除去非本质因素，抽象成数学问题进而运用数学解决问题的过程。建立数学模型可以使学生理解数学与外部世界的联系，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，对于培养学生的创新意识和逻辑思维能力有极大的促进作用。以“工程问题”为例，教者引导学生经历如下建模的过程。

一、创设情境

   出示题目1：修一段420米长的路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。如果两队合修，几天能够完成？

在引导学生读懂题意的基础上，让学生独立思考、尝试解答，并鼓励学生写出数量关系式。

   生：420÷（420÷10+420÷15）=

   生：工作总量÷工作效率=工作时间

二、猜想验证

   师：如果把这道题的条件改变一下，变成“210米”，多少天能够修完呢？

出示题目2：修一段210米长的路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。如果两队合修，几天能够完成？

   生：3天，因为工作总量缩小了一半，工作时间也应该缩小一半。

   师：这是我们的猜想，对不对呢？列式计算验证一下吧。

   生独立列式，验证猜想。

   生：还是6天！

   师：说说你们的列式。

   生：210÷（210÷10+210÷15）=6（天）

   师：为什么工作总量缩小了一半，工作时间却没有变化呢？

   生1：尽管工作总量缩小了一半，但是工作效率却变慢了，210÷10=21（米），比上题中的工作效率420÷10=42（米）也慢了一半，所以工作时间还是6天。

   生2：我发现不管是修420米还是210米，甲队单独修都是10天完成，乙队单独修都是15天完成，这个时间不变，合修的时间就不变。

   师：大家的意思是，无论工作总量怎样变化，只要甲、乙各自修完路的时间不变，合修的时间跟工作总量无关，还会是6天？

   生：是的。

   师：这倒是个很有意思的猜想，我们再来验证一下。

   出示题目3：修一段150米长的路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。如果两队合修，几天能够修完？

   生独立列式，计算验证。

   生：150÷（150÷10+150÷15）=6（天）

   师：果然如此！完成时间和道路总长真的没有关系！既然这样，我们就把道路总长这个条件省略掉，你还会做吗？

    出示题目4：修一段路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。如果两队合修，几天能够修完？

   生独立解答，小组交流。

   生3：我是用“1”来表示工作总量，1÷10=1/10，算出来甲的工作效率；1÷15=1/15，算出来乙的工作效率；1÷（1/10 + 1/15）=6（天）

   师：刚才我巡视的时候发现，在1/10和1/15的后面有同学加了单位“米”，生3却没有加单位“米”，到底该加不该加呢？

   生3：我认为不该加，因为这里的1/10表示的是甲队一天修了全长的几分之几，表示的是甲队一天修的路和全长的关系，不是一个具体的数量，所以不能加单位。

   生3的回答赢得了全班同学的赞同。

三、建模优化

   师：刚才我们把这道修路的问题不断变换条件，得出了黑板上的这四种算法，比较一下，哪种方法更加简便？

   生：第四种方法。

   师：想一想，第四种方法适用于前三道题吗？为什么？

   生：适用，因为不管工作总量是420米、210米，还是150米，都可以看作“1”。

   师：是的，这种问题在数学上叫做“工程问题”（板书课题：工程问题），它的特点是把工作总量看作单位“1”；谁几天完成，谁的工作效率就是几分之一；用工作总量单位“1”÷工作效率之和，就可以求出两队合修的工作时间。

四、应用拓展

   1.出示：一批货物，大车单独运，10次可以运完，小车单独运，15次可以运完。如果大车和小车合运，几天可以运完？

   生：跟刚才修路的问题一样，可以把这批货物的总量看作“1”，1÷  （1÷10+1÷15）=6（次）

   2.出示：甲、乙两地相距300千米，快车3小时可以行完全程，慢车6小时可以行完全程。快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出，经过几小时可以相遇？

   学生尝试解答，然后全班交流。

   生1：300÷（300÷3+300÷6）=2（小时）

   生2：还可以把全程看作“1”，先求出快车的速度1÷3=1/3，再求出慢车的速度1÷6=1/6，然后用路程÷速度和，算出相遇时间，1÷（1/3 + 1/6）=2（小时）

   师：生2的做法跟前面学的“工程问题”的想法相似，可不可以这样做呢？

   生：可以，快车和慢车从两地相对开出直到相遇，相当于两辆车合作走完这段路，这段路的全长就是工作总量，它们的速度就相当于工作效率。

   师：真好！这里的修路问题、运货问题、相遇问题，都可以归结为同一类问题，都可以按照工程问题的方法来解决。