探究“密铺中的奥秘”

——我的五年级教学札记

案例描述：

   通过观察几幅图形密铺的图片，学生发现正方形、长方形、等腰三角形、等边三角形都可以单独密铺，圆形不能单独密铺。

   师：通过刚才的观察，你对什么样的图形可以密铺有没有一些猜想或疑问？

   生1：普通的三角形能密铺吗？

   生2：平行四边形和梯形能密铺吗？

   生3：如果是任意形状的四边形能密铺吗？

   生4：边数多一些的图形能密铺吗？

   生5：我知道圆形不能密铺，还有哪些图形不能密铺呢？

   生6：我想知道为什么有的图形能够密铺，而有的图形不能密铺呢？

   ……

   师：大家真爱思考！提出了这么多很有价值的问题！下面我们就来研究一下。先看三角形，你觉得任意三角形可以密铺吗？（学生的意见不一）实践是检验真理的唯一标准！谁能通过摆一摆来说服大家？

   生1（用4个直角三角形在实物展台上拼成一个长方形）：因为4个三角形可以拼成长方形，我们知道长方形是可以密铺的，所以三角形也是可以密铺的。

   师：生1讲得有没有道理？（有）他讲得很有逻辑性（板书：逻辑性），因为三角形可以拼成长方形，而长方形是可以密铺的，所以三角形也能够密铺，很有说服力！能说服大家吗？

   生2：我有个疑问，并不是所有的三角形都能拼成长方形啊？只有直角三角形才能拼成长方形。

   师：生1只是举出了直角三角形这一种情况，对于其他情况呢？有什么办法能够证明任意三角形可以密铺呢？

   生2：因为两个完全相同的三角形可以拼成平行四边形，只要证明平行四边形能够密铺，就能证明任意三角形能够密铺了。

   师：有没有道理？（有）大家用平行四边形试着拼一拼，看看能否密铺。

   生动手操作拼摆，发现平行四边形可以密铺，由此也证明了任意三角形能够密铺。

   师：下面再研究四边形。我们知道了平行四边形能够密铺，那梯形能够密铺吗？为什么？

   生：能，因为两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，而平行四边形能够密铺，所以梯形也能够密铺。

   师：很有逻辑性！很有说服力！那么，任意的四边形都能够密铺吗？先想一想，再用学具摆一摆，拼一拼，验证一下自己的想法。

   学生动手操作，发现任意四边形都能够密铺。

   师：如果边数再多一些，比如正六边形、正八边形能够密铺吗？请大家也拿出学具接着研究。

   学生动手操作，发现正六边形能够密铺，正八边形不能密铺

   师：想一想：为什么有的图形可以密铺，而有的图形不能密铺呢？这里面有什么奥秘呢？

   生1：我发现能密铺的图形边数都比较少，所以我觉得边数多的图形不能密铺，边数少的图形能够密铺。（大多数同学支持这一说法）

   师：还有不同的想法吗？

   生2：我觉得可能跟图形的角度有关系，是什么关系我也说不清楚。

   师：很多同学觉得密铺跟图形的边数有关系，边数多的（像正八边形）就不能密铺，边数少的（像正六边形）就能够密铺，是吗？（是的）那大家觉得正五边形能够密铺吗？（学生大都认为能够密铺）

   师生用若干完全相同的正五边形摆一摆，拼一拼，发现正五边形不能密铺。

   师：看来并不是边数少的图形就可以密铺。大家还记得刚才生2提出可能跟图形的角度有关系，请生2说一说，为什么你会觉得跟图形的角度有关系呢？

   生2：因为我发现几个图形拼在一起后，几个角是凑在一起的，如果不能密铺，几个角就凑不在一起。

   师：大家再仔细观察这几个密铺的图形，看看有没有什么发现？
   生再次仔细观察密铺图形，小组讨论。

   生1（到屏幕前边指边讲）：我发现这几个图形拼在一起，交叉点上的几个角加起来是360°。

   “哦！还真是的呀！”，生1的发现使更多的孩子恍然大悟！

   师：现在大家对于密铺有新的猜想吗？

   生：如果图形的几个角加起来是360°，就能够密铺。

   生：如果图形中角的度数与360°有倍数关系，就能够密铺。

   师：怎么验证刚才的猜想？

   生：举例子，就举刚才能密铺的图形和不能密铺的图形做例子来验证。

   师生举例：正六边形的内角和是（6－2）×180°=720°,一个角就是720°÷6=120°，三个角拼在一起是120°×3=360°，所以，正六边形能够单独密铺。

   正五边形的内角和是（5－2）×180°=540°,一个角就是540°÷5=108°，108°和360°不是倍数关系，所以，正五边形不能单独密铺。

   至此，学生已经明了“密铺中的奥秘“。接下来，进行教学拓展。

  （出示）爱舍尔（1898—1972）是荷兰图形艺术家，他以其源自数学灵感的木刻、版画等作品而闻名。爱舍尔创作的艺术作品，结合了数学与艺术，给人留下了深刻印象。下面就来欣赏几幅他的作品。

   ……