用“梯形面积公式”计算圆木根数？

                                                                    ——我的五年级教学札记

   学习“梯形的面积”，教材中有这样一道习题:“我们经常见到圆木、钢管等堆成像下图的形状,请计算图中的总根数。”

   教学中，我让学生自主探究算法之后，组织全班交流。

   有很多学生认为，这堆圆木的“横截面像个梯形”,“上层根数相当于梯形的上底,下层根数相当于梯形的下底,层数相当于梯形的高”,而“梯形面积=（上底+下底）×高÷2”,所以,“圆木的总根数=（上层根数+下层根数）×层数÷2”。甚至,还十分肯定地说：“求圆木总根数,就是应用梯形面积计算公式。”

   我鼓励学生质疑：对于这种方法，你有什么疑问吗？

   生1：我有疑问，这道题目的要求是求圆木的总根数,而不是求那个“横截面”的面积，怎么能用梯形面积公式去计算呢？

   师：谁能解答生1的疑问？

   生2：因为这个梯形的面里摆满了圆木，所以求梯形面积其实就是求圆木的根数。

   生1：可是，如果仔细看，这个截面并不是一个标准的梯形啊,它的边线不是直的线段，而是一些弯的弧线。另外，圆木并没有填满整个梯形的“面”，圆木之间有空隙呀！

   生3：还有，为什么要把这堆圆木的层数看成梯形的“高”,而不把它看作梯形的“腰”呢？它看起来不是更像“腰”吗？

   生4：如果把“层数”看作“腰”,就跟求梯形面积的公式没关系了，这怎么能说“求圆木总根数,是应用梯形面积计算公式”呢？

   几个同学的质疑让全班同学陷入了沉思，大家面面相觑，用期待的眼光盼着老师来指点迷津。

   火候已到，该我出马了！

   师：除了用梯形面积公式计算圆木根数之外，刚才我还看到有同学这样列式，3+4+5+6+7+8，可以吗？（可以）怎样求它们的和呢？有巧算的办法吗？

   生：可以用3+8=11,4+7=11,5+6=11,再用11×3=33（根）

   师：真好！如果把这一列数字倒着写过来，8+7+6+5+4+3，相对应的两个数字的和都相等，用（3+8）×6=66，也就是用（最上层根数+最下层根数）×层数，就算出了两列数字的和，再除以2就是一列数字的和了。想一想，这种算法跟梯形面积的计算方法有联系吗？

   生5：有联系，我们在研究梯形面积的计算方法时，是用两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形，用转化的方法来计算梯形的面积，如果再有同样的一堆木头，如果能倒放在旁边，也就能组成了一个平行四边形，这样每层的根数就一样多了，每层的根数就是3+8=11根，用11×6=66（根）就算出了两堆这样的木头的数量，然后除以2就是一堆的数量了。

   全班同学给生5报以热烈掌声！

   师：如果在这堆木头再填上两层，最上层1根，下面一层是2根，这堆木头就堆成了什么形状了？

   生：三角形。

   师：堆成了三角形，又该怎样求这堆木头的根数呢？是用三角形面积公式吗？试一试。

   生尝试列式，全班交流。

   生：（1+8）×8÷2=36（根）我想象有一堆完全一样的三角形圆木倒着放在旁边，就拼成了一个平行四边形（画出示意图）。每层都是（1+8）根，共有8层，（1+8）×8就算出两个木堆的根数，再÷2就是一堆圆木的根数了。

   看来，学生已经不再把这个计算方法看作梯形的面积公式了。他们在计算木头的根数没有死死盯住一个式子的表象，他们的脑子里是有具体的形的。

   师：现在我们明白了，求总根数公式可以写成：总根数=（上层根数＋下层根数）×层数÷2,表面上看,它确实很像梯形面积计算公式：梯形面积=（上底+下底）×高÷2。但实质上并不是。其实，这道题是求等差数列3、4、5、…8的和的问题，计算公式应是：和=（首项+末项）×项数÷2，到了中学我们就会学到这个知识。

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