函数方程f(xy)=f(x)+f(y)的求解_山路水桥

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函数方程f(xy)=f(x)+f(y)的求解

(2013-11-05 08:25:36)

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分类：高数考研答疑室

【问题】对任意x,y＞0（原题为“x,y≠0”，是错的），总是有f(xy)=f(x)+f(y)，且f'(1)存在，求f(x)。

【问题来源】http://iask.sina.com.cn/b/22298086.html

【分析】函数方程f(xy)=f(x)+f(y)的求解本来是十分困难的事情，在数学分析里，欧拉在假定连续的条件下才解决这个问题。但是在“f'(1)存在”的条件下，非数学专业的“高等数学”已经“入门者”，也可以轻而易举地利用简单的微分方程模型即可解决此问题。

【问题关键】利用f'(1)存在的条件，证明f(x)在正实轴上点点可导，得到一个微分方程（实际上可以直接积分）。

对于此类问题，本博曾经多次涉及，并系统地进行过讨论，请阅读相关博文：

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