数学和智慧

——《三角形边的关系》课例分析

哦，天哪！

在市青蓝工程（小学数学）活动中听了两节数学课，又一次被数学这个学科中蕴含的智慧所征服。想以武建军老师给四年级学生上的《三角形边的关系》一课为例，说一说自己的体会。

教学过程如下：

一、出示金字塔、斜拉桥等图片，学生观察其中包含的图形。用红线标示出三角形。

[数学知识从生活中来。我想学生一定会产生疑问：为什么建筑物中总是有许多三角形呢？]

二、说一说：什么是三角形？用数学语言怎么说？

[我一直认为，所有的学科知识都是人们与现实对话的一种语言体系。把孩子的日常用语转化为学科语言，就是帮助他们建立数学学科语言体系。]

三、做一做：

1.学生量出黄色纸条（老师强调其实就是线段）的长度，并汇报。

[结果是16cm。都说现在孩子动手能力弱，那是我们让他们动手的机会太少了，要不就是用太难的动作把他们吓着了。这样简单的动作，孩子们都争先恐后地做。]

2.探究任务：如何把纸条围成三角形？你打算怎么分（要求整厘米）？把你的想法写在纸上。

[学生很快进入了思考状态。我也忍不住在纸上画起来：10、3、3，9、4、3，9、5、2，9、6、1，8、4、4，8、5、3，8、6、2，7、4、5，7、7、2，6、5、5，6、4、6……渐渐发现这里有个小圈套。]

学生汇报自己划分的结果。

3.试按照自己的分法把纸条剪成三段，在纸板上围成三角形。

[学生信心满满地做起来，可是渐渐有的学生眉头皱起来了——咦，我这个怎么弄不成三角形呢？]

4.汇报结果：

（1）展示拼成的三角形，说说三条边的长度。老师在黑板上记录：

3、6、7 5、5、6 4、5、7 7、7、2

（2）展示没有拼成三角形的图形，说说三条线段的长度。老师在黑板上记录：

10、3、3 4、4、8 9、4、3 4、6、6（这一组数字，有的孩子说我也是这个数字可是拼成了，看来是做的方法不对了）

5.说一说：你有什么问题想问老师？

[有的孩子说出了困惑，有的孩子虽然没说，但是心头的疑云飘来飘去。]

6.想一想：能拼成三角形和不能拼成三角形，与什么有关系？

[这个问题有点难，大部分孩子感觉到了什么，可是说不出来。老师立即调整活动方式，变个体学习为小组学习。]

7.小组讨论：你从拼成三角形和没拼成三角形的数字中发现了什么？

学生汇报结果：两条短的边的和大于最长的边就可以围成三角形。老师用动画图形演示为什么是这样。

8.老师引导小结：两条边的长度和大于第三条边。学生用字母表示这个结论：b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c。

[别看老师的小结和学生的表述只有一点点差别，其实意义是不一样的——学生说的是现象，而老师总结的是规律。由文字描述到字母表达又是一次语言体系的建构。一条数学原理就这样被学生发现了。]

四、练一练：

1.给出四组数字，学生判断能否组成三角形。

[以为这不过是一组巩固练习，谁知老师突然提出把最后一组不能围成三角形的数字中的一个数字改成x，问学生x是什么数就可以围成三角形。]

8、5、x，学生根据上面的经验很自信地说4和4以上的数字就可以。老师带着学生从4开始试，很快学生就发现了问题：当x与5的和大于8，或x大于13，就不能满足前面得出的结论了。

[小学数学能教给学生什么？这看似浅显的尝试，其实已经涉及“取值范围”的数学思维了。]

2.三角形中一条边是12cm，另两条边之和是14cm，你觉得另外两条边可能各是多少？

[有了前面的基础，这个题目难不住学生，答案很快就出来了。]

老师又问：如果边长可以取小数，可能有多少种组合？

学生利用学过的小数知识七嘴八舌地说着答案，老师用投影不停地出示图形，给出结论“无数种”，然后用曲线把这些三角形的顶点连起来，形成一个弧，这个图形渐渐变成“国家大剧院”图片。

[我不是学数学的，不敢确定老师这里用到的是不是微积分知识，但隐隐感觉到老师正在把学生的视野带向一个无限开阔的数学天地；更值得一提的是，知识的学习又回到了生活中——三角形与建筑。]

先说说数学的智慧。数学是一门智慧的学科，它对人思维的训练是多方位、多层面的，这是大家的共识。而我就这节课感受到的可以用三句话来概括：现实的数字化，数字的规律化，规律的生活化。这个过程多么符合马克思主义认识论——理论来源于实践，理论指导实践。

再说说数学教学的智慧。在这短短的一节数学课上，老师让学生运用了多少种学习方式？看、说、想、做、练、尝试、讨论、交流、总结、变式、拓展……我忍不住又想把“学习金字塔”的图片放到这里来，让大家对照一下，并以此来推测这节课的教学效果。而这些学习方式的运作是建立在多种平台上的，有时是学生个体，有时是学生全体，而更多情况下是学习小组，这就是为什么如此丰富的学习方式可以运用自如的关键。这节课老师除了教给学生“三角形边的关系”这个核心知识以外，还涉及未知数的取值范围、微积分（姑且这么认为吧）思维等一些难度很大的数学知识或者说数学原理，而教学过程的处理方式却毫不艰深，是在学生探讨简单的知识过程中水到渠成地引入的，这样的拓展不能不让人惊叹。

经常在听评课时听到“课堂驾驭能力”这样的术语，可是很多人把它理解为掌控学生的能力。从这节数学课中，我感受到“课堂驾驭能力”首先是对知识体系的准确把握，其次是对知识难度与活动方式关系的恰当处理，再次才是老师管理学生的方法和水平。这大概就是我们常说的“底蕴”吧？

2012.10.25