Goldie正则元素引理：对半素右Goldie环R，有I ≤e R iff 存在x∈I正则。
→：先给出下列引理（参见【4】）：
1）R内的诣零（nil）理想一定是零。
2）
设a∈R，存在充分大的n，使得
a）a^nR ∩ rann（a^n）= 0
b）a^nR + rann（a^n）≤e R
由Goldie条件，可取N＞0，使得n＞N时， rann（a^n）稳定。
3）设I是R的非零右理想，则存在某个k与a_1，…，a_k∈R，使得r.ann（a_1）∩…∩r.ann（a_k）∩I =
0.
由引理1，I内有非幂零元x，再由引理2，存在n充分大，使得直和：x^nR ⊕ rann（x^n）≤e R. 令a_1 = x^n,
若r.ann（a_1）∩I =
0，就停止操作；反之，用r.ann（a_1）∩I代替I，有非零元a_2∈r.ann（a_1）∩I，使得a_2R∩r.ann（a_2）=0，由此给出直和分解：a_1R⊕a_2R⊕r.ann（a_1）∩r.ann（a_2）∩I，若r.ann（a_1）∩r.ann（a_2）∩I≠0，则过程继续。由于R是右Goldie的，这样的过程必定终止。
对于R的本性理想I，引理3中给出的a_1，…，a_k，满足r.ann（a_1）∩…∩r.ann（a_k）= 0. 令c =
a_1+…+a_k，则r.ann（c）=0. 取引理2中 充分大的n，可证明x=c^n∈I正则。
←：若s∈I正则，可证sR ≤e R.
由n =
udim（R）有限，有n个一致右理想E_1，…，E_n，其直和在R内本性，进而有sR的n个一致右理想，其直和S在sR内本性。对R的任何右理想I，存在J≤I是一致的，故∅≠J∩S≤I∩sR，因此sR在R内是本性的。
Goldie的第二定理：R是半素右Goldie环 iff
R的经典右商环Q存在且是半单Artin的。
→：我们需要验证Ore条件：aS∩sR≠∅. 为此令E={x∈R；ax∈sR}，如能证明E≤e
R，则由Goldie正则元素引理得存在s∈E正则，满足Ore条件。考虑任意右理想I≠0，若aI=0，则I≤E；若aI≠0，则由Goldie正则元素引理，sR≤e
R，则aI ∩ sR≠0，因此总有I∩E≠0.
再看Q的半单性，主要证明Q没有真本性理想。若J ≤e Q，则J∩R ≤e
R，由Goldie正则元素引理，存在s∈J∩R正则，这个s是J内的单位，故J=Q.
←：先看一个引理：若N是R的幂零理想，则其左零因子lann（N）在R的本性右理想。事实上，若对R的任意非零右理想I，存在k使得IN^k≠0，但IN^(k+1)=0，故而IN^k
≤ X∩lann（N）.
Q是Artin环，由Hopkins-Levitzki定理，Q是Noether环，故R是右Goldie环。再证R半素：设N≤R幂零，则lann（N）≤e
R，有lann（N）Q ≤e Q，由Q半单得，lann（N）Q =
Q，取1的表示可得N=0.
Goldie的第一定理：R是素右Goldie环 iff R的经典右商环Q存在且是单Artin的。
→：若0≠J≤Q，则0≠J∩R ≤ R，由R是素环，有J∩R ≤e R，仿上可得J=Q.
←：设0≠A≤R，有Q=QAQ，取1的表示可得Q=QA，类似对0≠B≤R，Q=QB=QAB，有AB≠0.
给定右Artin环，环R称为Q的右序，若Q是R的经典右商环。
由Goldie的定理可以证明：R是半素Goldie环 → R的经典右商环Q存在且是半单Artin的 →
M_n（Q）存在且是半单Artin的 →
M_n（R）（作为M_n（Q）的序）也是半素Goldie环。如果没有半素条件，一般Goldie环的矩阵环可以不是Goldie环（参见【6】）。
此外，若R是半素Goldie环，其多项式环R[X]也是半素Goldie环.
证明这个结论用不到它的商环，只要注意：R是半素右Goldie环 iff
R是半素非奇异且一致维数是有限的（参见【2】）。
扩展阅读：
【1】Lam T Y. Lectures on modules and rings[M]. Springer Science
& Business Media, 2012.
（环论进阶参考书，包括环的局部化与Goldie定理，本文主要参考书）
【2】McConnell J C, Robson J C, Small L W. Noncommutative noetherian
rings[M]. American Mathematical Soc., 2001.
（非交换Noether环的大字典，内容丰富而全面）
【3】Goodearl K R, Warfield Jr R B. An introduction to noncommutative
Noetherian rings[M]. Cambridge university press, 2004.
（非交换Noether环的简明教材，特别处理了很多例子）
【4】Coutinho S C, McConnell J C. The quest for quotient rings (of
noncommutative noetherian rings)[J]. The American mathematical
monthly, 2003, 110(4):
298-313.（关于环局部化的通俗小文，包括一些简化证明和小故事）
【5】Ruiter J, Derived categories[J]. 2021
（关于导出范畴的讲义，从环的局部环引入范畴局部化）
【6】Kerr J W. An example of a Goldie ring whose matrix ring is not
Goldie[J]. Journal of Algebra, 1979, 61(2): 590-592.
（技术性的小论文，给出Goldie环的多项式环可以不是Goldie环的反例）
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