好题，有“法”可依

——2024年1月高碑店市九年级质量检测数学26题赏析

解答题第26题作为压轴题，位置就相当于选择题的第16题、填空题的第19题，凭借感觉和印象应该属于“高处不胜寒”的类型，可望而不可即的。意料之外的惊喜：刚刚结束的全市九年级质量监测数学第26题，因为有印记而亲切，因为有坡度而自然，因为有抓手而舒适，因为有章法而工整，由不得亲身经历者不拍案称妙。

一.试题回顾

如图，在矩形ABCD中，AB=4√3，BC=4,点M在边AB上，BM/AB=1/4，N为BC上一动点（不与点B，C重合），将BMN沿直线MN折叠，点B落在点P处，∠BMP=n^o（0）.

(1)如图1，若n=90，延长MP交DC于点G,求PG的长.

(2))如图2,若n=60，延长NP交DC于点H.

求证：MNBHNC.

求DH的长.

(3)如图3,当NP的延长线经过点D时，直接写出tan∠PMN的值.

二.试题赏析

1. 以数学活动为背景，体现了学和教的统一。学习数学，不限于认真听讲、独立思考，也要动手实践、交流合作。“儿童的智慧就在手指尖上。”实践才能考验出数学的真知。认识轴对称图形，比如角、等腰三角形、菱形，折叠是常用途径。借助折叠过程，对应元素的重合即全等就由肤浅走向了深刻。第26题，对称轴直线MN一定、对应元素如点B和点P给定,于是四边形BMPN的形状大小变化不断,引领的是思维的错综起伏。教法取决于学法，考法取决于教法，“改进学习方式”的立意旗帜鲜明。

2.以数学思维为主线，打造了层次的美。学数学的核心在于“数学的思考”，用数学的眼光思考现实世界。“创设情景——生成概念——巩固新知——拓展延伸”就是思维步步深入地典型描述。第26题，折叠等腰直角BMN成为正方形BMPN比较直观；折叠含30⁰的直角BMN进而得到3个相似图形就变得有点复杂；由特殊到更特殊“直线NP经过点D”，tan∠PMN的计算尤为棘手，非构造出RT直角AMD进而指向未知线段PN位置地观察、PN大小地探究，AMD、BMN、PMN、DNC轮番出动勾股定理、全等三角形、三角函数、解方程、二次根式统统用上，“非有一番寒彻苦，哪得梅花扑鼻香”，思维体操的韵味做到了极致，检测在“考思维”上作出了大胆尝试。

3. 以数学表达为突破，烘托了符号语言的简洁。数学是用空间形式、数量关系刻画和表达世界的，靠的是图形语言、符号语言和文字语言。用语言为依托，所以数学和世界之间就有了得以沟通的桥梁。二次函数的一般形式和顶点形式、一元一次方程的基本模型、含30度角的直角三角形的边角都属于数学表达的范畴。第26题，可谓3种语言百花齐放：题干部分采用了文字语言，给出了线段AB、BC的大小、线段BM、AB的数量关系以及图形的构造过程；图形语言贯穿了问题始终，BMN沿直线MN折叠，进而出现了正方形BMPN、矩形BMGC、矩形AMGD、含30度角的直角PMN、含60、90度角筝形BMPN、相似型的k字形，寓复杂为直观，同时也为问题解决提供了有利的抓手；符号语言点缀其中，、BM/AB、tan代表的概念是最基本的思维细胞，比如tan需要找到直角三角形、分清哪两条线段之比。学以致用，有用的知识才有力量。注重表达，处处体现了数学语言的简洁，以此推动了问题解决的进程，“语言美”让数学学科的美淋漓尽致。

4.以科学和规律为根本，渗透了阶段检测的用心。质量监测的目的，不在于甄别学生和教师，而在于教和学的阶段反观进而调整和改进，激励教和学才是重点。阶段检测不同于中考，基本知识、基本技能、基本思想方法、基本题型、核心内容才是重点，无需刻意拔高，无需大面积的综合。第26题，检测点是几何内容。纵观整个学期，图形内容无非涉及到了特殊平行四边形的定义性质和判定、三角形相似、三角函数。试题设置不偏不怪不离奇：第一小题，矩形和菱形的边角性质；第二小题，相似三角形的判定以及性质；第三小题，计算某一锐角的正切值。如果说形散，指的不过是在折叠过程当中图形形状大小的不断变化。但问题的神却是一贯汇聚，指向了图形各元素的数量关系。因而，问题虽然属于压轴，学生的感觉始终是舒服，因为材料熟悉、内容熟悉、方法熟悉节奏也熟悉。与其说规律和科学，比如说成命题者对“人性”的尊重。

三.解决策略

1.第一小问，由AB=4√3，BM/AB=1/4，可得BM=√3.不难发现四边形BMPN是正方形，四边形BMGC是矩形,PG因而可求；

2.第二小问，由MNB与MPB为含30度角的全等的直角三角形，在由∠B=∠C=90⁰,两个角对应相等三角形必然相似;在第一问基础之上，相似三角形的对应边成比例，再结合三角函数求出BN和CN,DH可求；

3.第三小问，需要连接DM,构造直角AMD求得线段MD的值。抓住主要矛盾“计算PN”,可以设PN=x，在直角DCN中运用勾股定理即可。不过，由于方程较为复杂而且需要用到二次根式的化简，加之要求直接写出结果，这一问的解决难度显然较大。

四．解题失误

1.由于畏难和心理定势，略过不写；

2.条件混淆，顾此失彼，信息分辨不清张冠李戴，比如受第二问影响，错误认为∠PMN=30⁰；

3.计算问题，在其求DH过程中，已经得到了相似和比例关系，变形出现问题所以前功尽弃；

4.推理的严密性问题，得到了∠BNM=∠HNC之后,想当然地认为了MNBHNC；

5.含30度角的直角三角形边角关系的问题，误认为BN是BM的一半，此为个案。

五.教学启示

1.夯实基础为第一要务。基础不牢，地动山摇。万丈高楼，须从平地起。基础知识，比如相似三角形的判别方法、二次函数的表达式、三角函数的概念、解方程，该记的记、该查的查，力求多数人过关；

2.注重方法，“授之以鱼不如授之以渔”。方法为纲，有了方法才会有目标。比如证明三角形相似，先要发现熟悉的图形模式，A字八字或者k字，接下去才能谈得到条件的寻找。强调方法，可以进行变式或者一题多解、多题一解的训练；

3.不搞机械记忆，理解先行。听懂了，不代表会了。在过程里、在多角度中把握，数学学习才能立体化。比如因式分解法解一元二次方程，为什么要保证等号一边为0、为什么形如a×b=0的一元二次方程结果只有2种可能、相对于配方法和公式法因式分解法的地位跟作用怎样。一维叫线，二维叫面，三维是体，核心内容、核心概念无论时间多紧都要打造理解链条；

4.心理疏导，祛除畏难情绪。明知山有虎，偏向虎山行，靠的是勇气。容易题、中档题、较难题之比为3:5:1，难度高、综合程度大的问题虽然存在比例却不大。26题虽属压轴，前两问难度未必有多大，解决未必不顺手。例题讲解、课后练习，精心设置一些压轴题，让学生亲眼所见其平和，久而久之心态也就平和了。

命题要守法。教材是法，课程标准是法，重点内容是法，核心素养也是法；学情是法，规律是法，科学是法，依法办事更是法。科学命题，不追求花拳绣腿，不故作深不可测，不为一时一域所左右。眼中有法，心中更有法，法渗透于字里行间，好题就是如此诞生的。