好题，脚踏实地与仰望星空并重

——2023年河北省中考数学试题22题分析

核心素养在教学中的落实，《2022年版义务教育数学课程标准》的表述如下：引导学生在真实情境中发现和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证，数据分析，直观想象等方法分析和解决问题，促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能。落实核心素养，还要靠评价的导向作用。考试如同灯塔，贯彻素养的考查才有贯彻素养的教学。2023年河北省中考数学试卷第22题，以数据观念、模型意识为素材，突出了核心素养的3大要素“抽象、推理、模型”，既重视基础性又重视发展性，“言之有物，言之有序，言之有理，言之有道”，堪称好题。

一.试题再现（见附图1）

二.试题分析

1.源于教材，重视基础。22属于中等难度问题。“四基”（基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验）就是中等问题的“根”；内容熟悉就是中等问题的“本”。素材出自教材，问题则根正苗红。北师大数学八年级上册141页《中位数和众数》”的引例以及143页问题解决第3题就是试题的影子（见附图2、3）。《标准》对中位数、众数、平均数的要求，“能计算、知道特点”。出自教材能让学生感到亲切，重视基础能让学生感到自然，“人人都能获得良好的数学教育”在此尽显无疑；

2.高于教材，重视应用。源于教材则不偏不怪，综合则代表着挑战。数学的眼光观察世界，指的是要体会数学知识之间，数学与其他学科之间，数学与生活之间的联系。“醉翁之意不在酒”，计算“客户平分的中位数和平均数”只是前奏，重点落在了决策“是否需要整改”，需要接纳新信息“整改的前提条件”才行；“牛刀初试”，创设新情境“添加一个新数据”提出新问题“新数据如何满足新要求”，需要发现“大于”这一关系指征才行；“再起波澜”，新挑战出现“数据变化意味着代表的变化”，“新的中位数如何变化”，需要的问题进行再次回顾梳理总结才行。“有用的知识才是力量”。以教材为基础，思维转向或者深化能让学生感觉到挑战的魅力，“不同的人在数学上得到不同的发展”才能落地有声；

3.问题链条，重视思维。“数学是思维的体操”，“问题是数学的心脏”，“小疑则小进，大疑则大进”。22题的问题解决，始于“中位数和平均数”概念，计算需要在准确理解概念的基础上进行；新信息“整改”，需要触摸概念、理解概念、把握概念然后作出判断，这是思维的转向；新情境“数据个数变化”，新要求“平均数的改变”，不等关系出现，数据统计和数学模型进行了整合；分析和决策才是学习数据的核心环节，“数据变化与中位数变化的关系”，此时无声胜有声，回顾梳理、再总结、再分析使得问题的解决达到了高潮，大有余音绕梁的感觉。学数学就是学习思维。发现、提出、分析、解决、拓展代表着思维的不断深入，做到大格局、宽眼界非思维训练不可，链条和梯度保证了思维的深刻，思维体操才会做出滋味；

4.学业质量，重视素养。数学的眼光、数学的思维、数学的语言，数学核心素养的三大方面。考察学生的学业成就，核心素养才是主要维度。22题从熟悉的生活“客户打分”入手，数据是用柱状统计图给出的，学生需要将数据整理比如从高到低有顺序排列，进而进行中位数和加权平均数的计算，这是在用数学的思维进行推理；新信息符号化，“中位数<3.5或者平均数<3.5”需要整改，这是生活问题的数学化，属于抽象层面；不等关系“新数据组的平均数>3.55”，在收集数据分析数据的基础上，运用不等式模型来表达数学与生活的关系，体现了应用意识，属于数学语言层面；在计算结果的基础上，表达、解释、分析客户评价，能够体会到数据的意义和价值“衡量水准、改进工作”，属于数据观念层面。情境创设——数学化——解释、应用与拓展，22题在考察初中阶段学业成就的同时，凸显了对核心素养的侧重，“人人学有价值的数学”凸显了数学课程的育人地位。

三．解决策略

数据观念是考察的重点。客户打分情况是用条形图给出的。为了顺利求出中位数和平均数，数据需要重新整理，比如可以由高到低用表格的形式呈现。这样每个分值所对应的数据个数一目了然。中位数在第10个数据和第11个数据之间求的，为3和4的平均数。而平均数的计算，总分数、总人数清晰可见。表格的采用，问题解决显然更加快捷了。

中位数平均数的计算结果（均为3.5分），需要和新信息做比较“低于3.5需要整改”。新信息重点落在“或、低于”两个层面。显然客户打分满意度属于高位，无需整改。

新情境“再添加1个数据”，新要求“平均分不低于3.55分”，总分与数据个数发生变化，不等关系出现。引入未知量，建立不等式模型，结合客户评分的原则，第21个数据的值不难得出。

数据个数发生变化，由“20个到21个”，中位数的计算也要发生相应变化，由“第10个和第11个数据的平均值到第11个数据”。联系原有结论（原中位数）不难作出判断。

紧扣概念，整理数据，触摸、理解、把握要求，表达数量关系，结合计算作出分析判断，这是22题解决的4部曲。

四.解答失误

1.第（1）问，有解答“中位数是第10个数（3）和第11个数（4），平均数是1、2、3、4、5的平均数”，显然是对概念认识模糊的缘故；

2.第（2）问，有解答“假如第21个数是5，平均数等于3.57，满足要求。所以第21个数是5”，5能满足要求未必代表4不能满足，“个体情况不一定能反映出总体水平”，显然以偏概全的员工缘故；

3.第（2）问，有解答“1、2、3、4、5等种情况分别计算，得到只有5满足要求。因此第21个数5”，不能说成错误，但却能够反映出模型观念的淡薄；

4.问题（1）“求客户所评分数的中位数和平均数”而非“直接写出”，略去过程直接给出结果的却不在少数。学数学需要严谨和规范。审题潦草不明，解决标准只凭主观，显然学习习惯不良；

5.计算平均数和解一元一次不等式，类似解答“70/20=3.55，（70+x）/21<3.55因此70+x<74.5”让人瞠目结舌，不会的可能性不大，映射出的只能是计算能力的薄弱或者做事情马马虎虎的态度。

22题，内容单纯、难度不大，问题却不小。评价是为了掌握学习状况，教学调整才是关键所在。

五.教学启示

1.基础，要做真、做实、做透。“巧妇难为无米之炊”。没有基础知识和基本技能做保障，思维能力素养只能沦为口号。应知应会的内容，比如整式的四则运算要做到堂堂清日清月清；重点内容，比如二次函数图像顶点坐标的确定，要在过程里深化理解，要在变式训练中体会知识的价值，要在互帮互助中达成整体进步；难点内容，比如图形的变换，可以借助动手操作“剪纸、拼接”、flash或者几何画板促成内化。做透就是让每个人都找到兴奋点，比如实验、多媒体、小型比赛，以热情烘托基础学习的活力和生动；

2.阅读，要做大、做强、做优。朱永新教授说，“一个美丽的城市必然是书香充盈的城市”。同样，“一个优秀的学生必然是书香充盈的人”。数学是对世界的定性定量的把握和描述。典型例子，要有意识的引导学生去读“勾画已知条件、标注未知内容、寻找已知和未知的联系”；阅读材料，不仅仅限于教材内容，包括数学史料、数学名人趣事、学科前沿动态，在大视野界中培养学生的大格局；见识生活中的数学，在真实情境中发现数量以及图形的影子，体会生活问题数学化的魅力，在“万里路”中捕捉数学美；用导图引领思考的深入，读物可以用思维导图描述脉络、知识可以用思维导图建立联系、问题可以用思维导图找准线索。

3.素养，要做深、做细、做精。素养指的是沉淀在人身上的对人的发展、生活、学习有价值、有意义的东西。数学核心素养包括3个维度，“抽象、推理和表达”。做细就是要在细节中渗透素养，比如生活问题的数学化，用符号表示数量、用大小关系链接数量、用数量解释生活现象，生活数学就融为了密不可分的整体；做深就是要在平常处发力，比如推导乘法法则“负负得正”，可以创设情境“小蚂蚁在数轴上爬行，从原点出发以每分钟2厘米的速度向右行走，5分钟以前蚂蚁的位置如何表示？”，负数产生、乘法运算、数形结合构成了法则推导的深刻；做精就是在链条中体现修养，比如22题，“客户满意度评价，程度抽象成为了数字”，衡量工作水平“求中位数和平均数”介入了推理成分，数据变化要求变化“平均数大于3.55”综合不等式模型。素养3要素为问题解决所用，相互弥补，相互促进，奏出了同声相应、同气相求的交响曲。

普通事情做出特色就是不普通；平凡因子作出滋味就是绝妙；常规问题做出特点就是高明。平平常常的统计内容，“娓娓道来，有层次，有章法”，彰显的是格局更是品位——2023年河北中考数学22题，难得好题！

附图——1.2.3