学分式，切莫止于类比

《分式与分式方程》教学指导意见，“类比”一词出现的频率有太多：“经历观察、类比、猜想、归纳分式基本性质的过程”；“用分数类比的方法得到分式的基本性质”；分式的符号把握，要“引导学生类比分数理解这一规律”；同 分母分式加减法，要“先回顾同分母分数的加减法”；“类比分数，猜想异分，母分式加减法法则”……

不乏类似观点：“分式的内容是分数的继续”、“分数的学习方法，就是分式的学习方法”、“分数的注意事项，就是分式的注意事项”、“分式出现问题，不妨联想分数”……

百度百科如是解释“类比”的含义：Analogy(类比)：将两个本质上不同的事物就其共同点进行比较，是通过比喻手法的综合运用帮助说明道理或描述某种复杂情况。

分数与分式都有分数线、都有分子、分母。形式相似，联想到概念、性质、计算可能具有某些相通之处，如此认为、把握并不奇怪。类比促进理解可以，但是，学分式“类比”绝不是想当然的。

   1. 做足类比，方能达成认可。北京十一学校李希贵校长说，“教育学就是关系学”。亲其师方能信其道。与之相通，唯有理解认可了教学内容方能自然而然地接纳。数学运算法则、概念，系统内部自成逻辑。于基础内容而言，大多规定而已，比如有理数运算法则。规定绝不等于简单告知，在过程里观察、发现、猜想、辨认、运用，新知识才能浸入学生的“心”。分式概念的学习就是如此。在情境里渲染，感受生活当中的分式。提供3份阅读材料（见附件1），固沙造林内容、上海世博会题材、图书借阅问题，给出充足的时间，让学生阅读材料、寻找关系、列出代数式；剖析概念，总结特征。展示列出的4个代数式，2400/x、2400/（x+30）、（35a+45b）/（a+b）、b/（a-x），“是单项式吗，是多项式吗，如果不是，原因在哪里？”。新知识永远嫁接在原有经验上。“不是整式，和学习的哪类内容相似呢，相似点在哪里？”、“像分数，是分数吗，不同点的体现是什么”。无论学生表达清晰与否、准确与否都没关系，因为这是他们在用数学语言诠释自己的思考。教师无需准确归纳，既不用刻意形式化A/B（B含有字母）、也不用太遣词造句（分式是分母中含有字母的式子），有初步印象就够了；概念初步应用，在做中感受本质。比如3/（2x+1）是分式吗，如果它的结果是个整数，x等于多少？（|x|-3）/（x²-9）的值等于0，求x.再次深化分数线相当于除号、分母取值限制、分式与整式的区别等代表分式本质的关键点；归纳分式概念，利用模型语言表达数学。形如分数A/B，并且B含有字母的的代数式称为分式，B不等于0，/相当于除号。以此为标准，概念辨析“找出a/3，（a-3）/π、π/（a-3）、（a-3）/（a²-9）中的分式并且说明理由”。分式形如分数，学习分数就是在对比回顾分数，但实际操作绝非轻描淡写的类比。在情境中感受数学和生活的关系，在生活当中发现树下的影子，经历生活问题数学化“概念来源才能真实可信”。感知概念，有意识对比和就有经验的关系，“温故而知新”，在对比中捕捉的特征。用旧有认知初步运用概念，触摸新概念，多维度触摸，体会分式的本质。用数学语言归纳新概念表示新概念，在更高的高度把握新认知，拓展认知领域。类比不仅是学习知识的开始，不仅是新旧经验的桥梁，更是理性提升的好渠道。

    2.纵横捭阖，方能达成灵活。类比是《分式》章节学习的主旋律。从分式概念的引入，到分式基本性质的介绍，再到分式的乘除运算，最后归为分式的四则运算，类比始终作为了明珠、指南针、大海灯塔，学习有顺序、有节奏、有条理。《分式方程》的出现，瑕疵随之出现了，且不说概念“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”，单是去分母方法解方程（见附件2）就让人咂舌，因为“半路杀出了个程咬金”。教材编排衔接不畅，学习也会出现断档风险的“生硬、生涩、干瘪”。如此解方程堪称完美，问题在于如何引着学生想到、还有无其他路径。解方程480/x-600/2x=45的处理，可以引入类比方法，回顾（3x-1）/2-x/3=1的解法，联想新问题，你能作何联想“两边同时乘以2x，化成960-600=90x”解决就变得得自然了；600/2x可以先行约分为300/x，于是得到480/x-300/x=45，再去分母的话显然更简单一些；两边通分，分母为2x，可得（960-600）/2x=90x/2x，类比分数，“2个分数值相等，如果分母相同，分子必然相等，因此960-600=4x”；得到180/x=45/1，可以利用比例性质“内项乘积等于外项乘积”，得到新方程180*1=45x，问题从而顺利解决。等式性质、分式性质、比例性质、一元一次方程、分数常识统统纳入，去分母、通分、约分、交叉相乘、分式加减法、解一元一次方程，不同方法代表着不同视角、不同研究思路，一题多解构成了学习网络化“练习的、横向的、纵向的，你就是我，我就是你”。而，不同渠道的本质，把即将学习的分式方程转化为学过的内容“解一元一次方程”，“泰山凌绝顶，一览众山小”，总——分——总，学习境界无疑又到了新的台阶。

      3. 发散思维，方能深化思维。 “数学是思维的体操”，波利亚如是说。体操的含义，借助“动手操作、阅读、实验、交流、猜想、验证、应用”学习手段，让思维活跃起来。孔子讲究“ 不愤不启，不悱不发。举一隅不以三隅反，则不复也”，意思是要借助不同视角打通思考的“最后一公里”。增根问题是分式方程学习的难点，学生往往搞不懂增根为何物、如何产生的、怎样使用。教材例子，解方程（1-x）/（x-2）=1/（2-x）-2， x=2.（见附件3）x=2是根，满足去分母后的方程1-x=-1-2（x-2）；x=2不适合（1-x）/（x-2）=1/（2-x）-2，因为分母x-2此时为0，这是分式的前提条件；去分母遭遇问题，同时乘以x-2，两边实际乘的都是0 ，违背了等式性质的初衷；无解和增根是两个概念。比如方程（x-a）/（x-1）-3/x=1无解，增根有两种可能x=1或0，而去分母x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），化简2x+ax=3，即x（2+a）=3，如果a=-2，方程必定无解。从增根产生原因、与分式意义的联系、与方程的解辩证思考、比较增根与无解两个不同概念，增根的感觉会逐渐走向立体化，概念立体化了。“入之愈深，其进愈难，而其见愈奇”，学习深入、难点加大、风景神奇，原因就在于发散思维成就了思考的深刻。

2022版《义务教育数学课程标准》突出了核心素养：数学学习的全面“包装”，有生活问题的数学化、有数学角度的思考、也有数学独特语言的描述。类比只是学习方式之一而非全部，只是立足原有经验对新内容的初步观察和肤浅思考而已。要将思考向纵深推进，类比只能作为一个抓手。寻找资源、叩问不止、多角度多层次来观察、发现、强化，数学学习才能有肤浅的满足“如是而已”真正化为走向深刻的愿望“究竟为何”，即便“为伊消得人憔悴”“衣带渐宽终不悔”，这才是学习的高质量。