赋范空间X称为自反空间，就是说在自然映射下有到其二次对偶空间的到上同构X≌X**.实际上，它有一个简单的直观解释，就是对X上的泛函f（x），把自变量x∈X升级解释成X*上的泛函。为了突出x的特殊地位，我们常在x上加hat或是放到下标中写成Φx（f），有时也引入表示自反性的算符Q记作Qx，在不至于混淆的情况下，直接把X等同于X**的子空间也是可以的。假若这个空间中，其所有的泛函的泛函都可以由X中的元素升级决定的话，那么此空间就称为是自反空间。

    请注意，并不是只要X≌X**就是自反空间，这里的同构必须是在自然映射下才行。假若要证明lp（1＜p＜∞），单纯给出（lp）**=（lq）*=lp（1/p+1/q=1)是不完全的，必须要说明这个对偶过程才行。实际上，还真是存在同构于其二次对偶的非自反空间，即所谓的James空间。本文不准备详细讨论这个空间，主要是介绍一下自反空间中的若干定理。

 

    第一个定理被称为范数可达性（norm attain），就是说若X自反，则对任何x*∈X*，存在x∈BX*，使得‖x*‖=|x*（x）|.实际上，由Hahn-Banach延拓定理的典型推论，存在X**中的元素x**，使得‖x*‖=|x**（x*）|，而这里的自反性恰恰保证了x**一定在X=X**内。利用这个范数可达性，我们容易证明c0不是自反空间（（c0）*=l1中的{2^(-n)}范数不可达）。

    事实上，假若Banach空间（这里的完备性条件是不可少的!）满足范数可达性，那么它也一定是自反的，这被称为James定理。它是相当深刻的一个结论，感兴趣的读者请参考：Robert E.Meggginson的An Introduction To Banach Space Theory1.13与2.9.

 

    第二个定理称为Pettis定理，就是说自反空间的闭子空间是自反的。利用零因子可以得到它的一个“不依赖于元素”的简单证明，设M是赋范空间X的闭子空间，由X的自反性，x∈⊥（M⊥）iff Qx∈M⊥⊥，故有M⊥⊥=Q（⊥（M⊥）=Q（M），这就可以说明M确实是自反空间。实际上，自反性是所谓的3-性质，对正合列0→M→X→X/M→0，X自反 iff M与X/M均自反。

    有意思的是，这个定理的逆也是成立的，而且可以加强到可分决定性：假若空间X的可分闭子空间都是自反的。那么X是自反的。事实上，James定理就是先在可分的条件下证明，然后才推广到一般情况的。

   

    第三个定理是Eberlein-Smulian定理，说空间是自反的 iff 其单位球是弱紧的。这个定理的必要性部分是由Banach-Alaoglu定理保证的，它是说赋范空间X是对偶空间X*的单位球BX*的*弱紧的，其证明也是很有特色，先利用拓扑学中的Tychonoff定理把单位球嵌入到紧空间中，此时*弱紧性的验证就转化成*弱闭性的验证，后者可以通过*弱拓扑中的小邻域估计或者是用网收敛直接进行，本质上是应为通常算子的线性运算恰好都是*弱闭的。定理的充分性部分则是由Goldstine定理保证的，它是说赋范空间X的单位球Q（BX）在其二次对偶空间的单位球BX**内是*弱紧的，可以先对空间X*赋以*弱拓扑，此时它是一个局部凸空间，然后用Hahn-Banach分离性定理进行证明。

    Eberlein-Smulian定理可以说是自反空间中最为关键的结论了，由它可以轻松的推出自反空间的范数可达性与Pettis定理（在弱拓扑下紧集的闭子集是紧集），借助于弱紧性的序列刻画就能自然得到包括Pettis定理之逆的可分形式。注意到有限维空间的特征就是单位球的弱紧性，这个定理的哲学意义就在于说明了自反空间在弱拓扑下就相当于是有限维的。

    然而，Eberlein-Smulian定理还是不能导出James定理，比较一下可以发现这两者都是iff型的定理，既然Eberlein-Smulian定理的性质部分可导出范数可达性，那么对于Banach空间而言，它的判定部分应该能被James定理导出，事实也正是如此啊！可见，Eberlein-Smulian长于性质，而James定理则是长于判定，它们一起给了自反空间一个相当完备的刻画。

 

    最后，我们把关于自反空间的这些性质与判定定理小结如下：

   

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    Hahn-Banach定理是和凸性密切相关的，请看博文：Hahn-Banach定理与凸集分离问题