在泛函分析的三大定理中（开映射与闭图像定理、一致有界性定理和Hahn-Banach定理），Hahn-Banach定理可能是最奇特的一个，它不像其它定理那样需要完备性，却忽然跳出一个次线性泛函，而证明又用到了神秘的Zorn引理，似乎很不容易被初学者理解。下面我就来科普一下这个定理，同时讲讲它在凸集分离问题中的应用。

    约定：下面所说的线性空间都是实的。

    先从线性空间开始，我们知道有限维线性空间都有一个Hamel基（以下简称基），它可以决定空间的线性结构。在无穷维线性空间中，这个基同样是存在的，但是其证明需要用到Zorn引理，其中偏序关系就是包含，上界就是并。假若极大元M不是X本身，则必有s∈X\M使得s与M张成的空间真包含M.

    接下来我们考虑空间的对偶，假如X的子空间Y上的线性泛函f，那么X上一定有线性泛函g使得g|Y=f.它的证明同样用Zorn引理，只不过其偏序关系用空间包含变成了线性泛函的扩张，其实也就是定义域空间的包含关系。假若定义在子空间M上的极大线性泛函f，则必有s∈X\M使得s与M张成的空间N真包含M，此时我们定义N上的线性泛函g（m+s）=f（m）+t，这里是t=g（s）是可以任意选取的，它决定了一个h的真扩张。

    这个对偶的版本可以说是Hahn-Banach定理的毛胚，它已经告诉我们为什么Hahn-Banach定理的证明要用到Zoen引理。但在泛函分析中我们一般处理赋范空间，因此就要与其范数结构相适配，最自然的要求就是这样的扩张是保范数的，即有‖g‖=‖f‖.为此我们要选择特殊的t，首先做一个极化引入新变量s：

        f（x)+f(y)=f(x+y)≤‖f‖‖x+y‖≤‖f‖(‖x-s‖+‖y+s‖)    （*）

然后分离变量得到：

        f（x)-‖f‖‖x-s‖≤‖f‖‖y+s‖-f（y）

这里的x，y∈X是任意选取的，因此可以对左边的x∈X取上确界得到A，右边对y∈X取下确界得到B，在[A,B]中任取一点都是我们所要的t.要证明这一点，最简单的方法莫过于“不妨令‖f‖=1”，然后直接就是一个范数的定义式（其他方法请参考我的泛函分析视频10或一般泛函分析教材）。

    仔细观察这个证明，我们发现其中的范数总是作为一个整体出现，对此我们可以把它的性质抽象出来，得到一个次线性泛函的概念，它包括正齐次性（隐藏于‖f‖=1的要求）与次可加性（见（*）式），这样便得到通常泛函分析中的Hahn-Banach定理：在赋范空间的子空间上被次线性泛函限制的线性泛函可以扩张为全空间上被该次线性泛函限制的线性泛函。

    这样的扩张一般不是唯一的，我想这一点应该在情理之中，因为它用到与选择公理等价的Zorn引理。所谓选择公理，简单来说就是保证在无穷多种选择中一定能找出一种选择，因此它一般不仅不唯一，而且还是高度不唯一的，后者保证了在对偶空间内有充分多个泛函可分点，即对任何x，y∈X，必有f∈X*，使得f（x）≠f（y）.

    下面来看Hahn-Banach定理的几何意义，实际上它是与所谓的凸性密切相关的，而沟通这两者的媒介则是Minkowski泛函。假设U是包含原点O的凸集，我们可以定义关于U的Minkowski泛函为：

        p（x）=inf{λ＞0：x/λ∈U}

这就是说，对任何x∈X，找一个“最小”的λ，使得它放缩1/λ倍后仍在U内。

    请注意，这里λ可能取到无穷大，请考虑平面内上半单位圆与[-1,1]的并，对下半平面上的点x，只有λ=∞才能使得x/λ=O∈U.为避免这种情况出现，我们专门定义吸收集的概念，所谓U是空间X内的吸收集，指对任何x∈X，存在常数K>0,对任何|λ|＞K，有x/λ∈U.一般原点的邻域都是吸收集，但反之未必，请考虑平面内分别以（1,0）与（-1,0）为圆心半径为1的单位圆与y轴上闭区间[-1,1]的并。

    对于包含原点吸收集U的Minkowski泛函g，可以证明它是正齐性与次可加性，因此它就是次线性的，同时U包含{x∈X；p（x）<1}且包含于{x∈X；p（x）≤1}.这一点在下面的凸集分离中的至关重要的：

    1）点与凸集的分离：设U是X内以原点O为内点的凸集，x不属于U，则必存在超平面分离U与x.它的意思就是说，存在f∈X*，f|U≤r≤f（x）.事实上，先找关于U的Minkowski泛函p，考虑子空间Y=<x>及Y上的由g（x）=p（x）决定的线性泛函，则g≤p可以被扩张为X上的泛函f≤p，故有f|U≤p|U≤1≤p（x）=f（x）.假若补充条件d（x，U）>0,我们可以得到严格不等号，也就是说这样的分离是严格的。

    2）两个凸集的分离：设U，V是两个不相交凸集且U°≠∅，则U与V可以被超平面分离。为此我们考虑U-V，它的内点非空，同时原点O∉U-V，这样就可以使用上面点与凸集分离的结论。请注意，在点与凸集分离这个结论是几何型的，就是说其中原点O作为凸集U的内点只是为了论证的方便，这里U-V就相当于U，而O则相当于上面的x，最后得到存在g∈X*，g|U-V≤r≤g（O），因为有个平移作用，这里的常数r就未必等于1了。这样便有g（u-v+O）≤g（O），即g（u）≤g（v），对左边的任何u∈U取上确界，右边的任何v∈V取下确界即得分离结论。

    3）紧凸集与闭凸集的分离：它实际上是上面命题的一个简单推论。设F是闭凸集，C是紧凸集，它们不相交。对任何x∈C，它都有一个邻域Bx与F不相交，利用C的紧致性，必有有限个Bx包含C，取其并为U，则U必含内点，于是便可使用结论2）得到F与U可分离，因此F与C也是可分离的。

    有的学生可能会觉得2）中要求一个凸集有内点的条件是不是多余，为此我们考虑X=L2[-1,1]中的子空间族Xt={f∈C[0,1];f(0)=t},可以证明当t∈R不同时，各Xt都是不交凸集，而且还都是在X内稠密的，因此它们就不能够被超平面分离！

    最后的反例在有限维空间中应该是找不到的，请看博文：有限维空间中的凸集分离猜想