近段时间没少琢磨“数”的事，发现不少问题，也犯了不少错误，不过，逐渐的还是有了一些较为确定的想法。小结一下。

       首先，“什么是数”？“数的本质是什么”？似乎很少有人思考了，也包括专业人士。他们基本上都集中于“最近”的定义和范式，而忽视了“原始”的、“本质”的东西，“想当然”的东西太多了。

       原因可能就是因为数学越来越偏爱形式化、公理化的缘故吧，渐渐的开始歧视甚至讨厌“原始”的东西了。这个话题不想多说了，写几本书都扯不完的皮，只想提醒一句，爱因斯坦就偏爱形象化的思考方式，并且受益匪浅，很多有成就的科学家也多从形象化思考中受到启发、发现问题以及解决问题的。纯抽象，很多时候你真的发现不了问题的真谛。

       好吧，说主题，“数”的核心、本质是“确定取值”。这是“数”的本质定义，其他任何定义都必须受它约束，无论你多么“先进”。

        这好像是人人都知道的常识，但是事实上，

       连着用3篇博文讨论了“数”，主要问题就是“数的定义”，要解答的就是“小数都是实数吗？”

       我发现，判断一个量是不是“数”的关键就是是否有“确定取值”，而判断是否有“确定取值”的关键就是看它是否与“几何”对应。

        虽然普遍的观点认为“小数就是实数”，但是，从概念角度并没有这样的定义，都是人为想当然的。

       欧多克斯的“实数”定义是不严谨的，所以后来才要用戴德金分割重新定义。

       我们可以发现，欧多克斯是通过重新定义“比例”来扩展有理数到实数的，但是，他是以当时已发现的无理数想当然地理解了无理数，即，当时已发现的无理数都是有确定取值的，而且都是无限不循环小数，就想当然地认为所有无限不循环小数都是无理数了，而没有论证是否所有无限不循环小数都是有“确定取值”的？如此草率地判断了无限不循环小数，当然就得出了“所有小数都是实数”的判断了。这就是欧多克斯定义实数的漏洞。

      那么，我们

       特意找来了“戴德金分割”看了一下，因为实数理论就是通过戴德金分割来建立的。果然还是发现了问题。

       戴德金分割，是用对有理数集合的分割来定义无理数的，我们看到它是怎么定义的吧。

       首先，是将一切有理数的集合划分为两个非空且不相交的子集A和A'，使得集合A中的每一个元素小于集合A'中的每一个元素。集合A称为划分的下组，集合A'称为划分的上组，并将这种划分记成A|A'。

       然后，分析以上分割的类型，只有三种：

       (1)在下组A内无最大数，而在上组A'内有最小数r;

       (2)在下组A内有最大数r，而在上组A'内无最小数;

       (3)在下组A内既无最大数，在上组A'内也无最小数。

       在前两种情形，称分划由有

       人真的不能太得意，一得意就忘形，一忘形就容易出问题。

       刚说完“思想实验”中的无限数的“抖动”，并因其'抖动'而无法对应到固定的点上，就忽然发现并不是所有无限数都是'抖动'的，比如，0.111……、0.222……之类的无限数就不是“抖动”的。而且，我们也确实知道有些无限数确实是有“确定取值”的，比如，可以用尺规作图将线段三等分，比如，√2也是“确定取值”的数，因为你可以通过作两直角边是1的等腰直角三角形得到长度为√2的线段。

       而且我还说“用夹逼法可以得到‘无理数等于某个有理数’的结果”，“因为无理数与相应的某个有理数之间也只是差了一个无穷小”，显然这个说法也是不对的。√2与哪个有理数差无穷小呢？

       总之，太具体的命题我还是少说为妙，多说多错，因为我到底不是那个领域的专家。

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       “实数是与直线上的点一一对应的”，也就是“数轴”的概念，似乎已经是我们的一个常识，我没有查到这个说法是什么时候由谁首先提出来的。

       最近看了一些“0.999……=1”的讨论，推敲之下，对这个“常识”产生了质疑。

       我们知道，数，是劳动人民因为生产、生活的需要发明的，然后才逐渐地建立起来的理论。

       先有自然数，再有了整数，又产生了分数，到此的全部被称为有理数。有理数是后来才有的名字，当时并没有这个名字，而是统称为“数”，因为人们认为这就是全部的“数”。

       对“数”进行总结而上升为理论定义，应该是基于几何的。我们知道，柏拉图学院的大门上写着“不懂几何者不得入内”，而没说“不懂算术者不得入内”，可见在当时学者严眼中几何是多么高大上，而算术则是下里巴，是商贩、税务官才会摆弄的东西。所以，用几何来定义数就理所当然了，这个传统一直延续到近代。

      最开始用几何来定

       练习、体会，盲画的诀窍应该是：眼睛沿着边线移动的同时，感知笔的移动，并进行比对。

       这让我想起书上对“手眼协调”的描述，就像是接球，眼睛跟着球移动，同时伸手到预估的球的落点去接球。其实，手并不是一步到位的，而是在眼睛跟踪球的轨迹的过程中，不断地预估球的下一个位置，并感知手的位置，不断地调整手的下一个位置，这是个不断在重复的过程，直到接到球为止。

       在看我们在“观察——记忆——作画”时的细节，也是频繁的在对象和画纸之间移动眼睛的，实际上就是在不断地比对、调整运笔路径的过程。

       为什么“盲画的比例精确度有所欠缺”呢？就是因为少了观察所画线条和对象之间做比对的过程。

       在盲画的过程中，不只是“眼睛沿着边线移动”，同时也要感知笔的移动，并对两者进行比对，否则，你就不知道手的位置，也不知道笔移动的路径是否与边线一致了。

       在初练的时候，眼睛只盯着

        标题曾经想写成“ 最速降线、泛函、变分法、欧拉方程、拉格朗日方程、哈密顿方程、最小作用量原理、路径积分、泛函分析”来着，最后还是决定用“经典力学的数学方法”这个标题了。

       问题的来源是这样的：虽然看了“微积分本质”讲座，对“微积分”的基本原理和求解问题的基本过程及方法是大体了解了，但是，离“看懂”的要求还太远。​以我这些年读科普书的经验，要想“看懂”至少得懂“哈密顿方程”和“相空间”才行。于是搜了一下，发现遇到了无数个陌生的概念，每个陌生的概念都去搜一下的话，就要打开无数个页面，看的头都晕了，还是没法统一起来搞得懂是怎么回事。于是，准备做个“来龙去脉”的索引，即便现在“不懂”，也可以为日后如果有时间、有兴趣、有精力想来再学点的话，也算有个“逻辑目录”的指引，不至于那么的杂乱和茫然。

​

       主要是看了这几个资料来帮助整理“索引”：

哈密顿原理和拉格朗日函数的由来是怎样的？​

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       花了一下午看了几个视频：

11分钟解释十维度空间​

十一维宇宙

优雅的宇宙3 弦理论和11次元空间

       后两个是关于“弦理论和平行宇宙”的科普式纪录片，试图以“常识”来解释抽象的物理理论，并没有具体解释“11维度”具体是什么的问题。

       前一个​解释了10个维度的构建原理和过程，但是，我不知道它是不是说的“弦理论”的那个“10维”，听

       首先，我要破口大骂新浪，草稿箱居然全成了空，辛辛苦苦做了一天的笔记全没了。已经2次了，第一次我还以为是自己的操作失误。这群GNYD害人精！

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       找到2个不错的教学视频：

“朱传奇素描头像写生结构详解​”

http://v.youku.com/v_show/id_XMTM2MjgyNDc0NA==.html?spm=a2h0j.8191423.module_basic_relation.5~5!2~5~5!6~5!2~1~3~A​

“素描头像-结构详细讲解”

http://v.youku.com/v_show/id_XNDUzNTI4MTQ4.html?spm=a2h0j.8191423.module_basic_relation.5~5!2~5~5!5~5~5~A​

       视频里提到，高考打分的3个重点：

       1、最重要的是“形”看起来是否舒服。“形”就是形体、结构。“舒服”指的是比例、透视、位置、结构是否准确，不犯大的错误。

      浏览完了《人体素描和结构的经典方法》，后2章《头和手》、《运动中的人体》，与前2章类似，重点都是讲的“结构”，而不是“画法”和“步骤”。这也应了我在“笔记二”中的感受：内容很多，用到的却很少，似乎没啥用。这也正是它的特点，正如它的书名中强调的，是“结构”。它的目的在于让你学会画出正确的姿态，而不是教你具体画法的细节。但是，我还是要再次强调“笔记一”中的感受：它讲的都是最基本的知识，绘画之外的东西没有一点多余的东西，单就“绘画”而言，足够详细，又精炼、简洁，可以说是最小公约数的必须的知识。因此，是学会画人体很好的一本结构知识参考书。

       今天又看了《美国人物速写基础教程》的前3章，对我理解前面所学的知识非常有帮助。

       例如，在第一章《观察画法》中讲到“骨性界标”和“人体形态”时的“理解肌肉”这个概念，​它告诉我们：学习骨骼和肌肉的解剖知识，使用解剖书籍的目的，是为了帮助我们观察、寻