实数真的是与直线上的点一一对应的吗？（2）
2022-10-11 03:36:59
人真的不能太得意，一得意就忘形，一忘形就容易出问题。
刚说完“思想实验”中的无限数的“抖动”，并因其"抖动"而无法对应到固定的点上，就忽然发现并不是所有无限数都是"抖动"的，比如，0.111……、0.222……之类的无限数就不是“抖动”的。而且，我们也确实知道有些无限数确实是有“确定取值”的，比如，可以用尺规作图将线段三等分，比如，√2也是“确定取值”的数，因为你可以通过作两直角边是1的等腰直角三角形得到长度为√2的线段。
而且我还说“用夹逼法可以得到‘无理数等于某个有理数’的结果”，“因为无理数与相应的某个有理数之间也只是差了一个无穷小”，显然这个说法也是不对的。√2与哪个有理数差无穷小呢？
总之，太具体的命题我还是少说为妙，多说多错，因为我到底不是那个领域的专家。
我也只能是从逻辑的角度发现一些问题、提出一些疑问和猜测，解答能力不是我具备的。
例如，我猜测，所有的代数数应该都是有“确定取值”的吧？而超越数就不好说了，典型的例子，自然数e本身就是个求极限取得的无理数。毕竟随便给一个无限不循环小数，我们甚至都不知道它是不是超越数呢，证明起来很难，通常得一个一个具体地来论证，更何况那些由随机序列构成的无理数呢。
不过，经此，我想，大概不能再用无限数的位数不确定来说无限数没有“确定取值”了。那么，什么样的无限数是有“确定取值”？什么样的无限数是没有“确定取值”的呢？我初步猜测可能跟收敛性有关吧？
那么，再说回来，像0.111……、0.999……这样不抖动的无限数应该是收敛的吧？所以它们应该是有“确定取值”的吧？那么，也应该是实数吧？至于是否0.999……=1，还是依赖于“相等”的定义吧？
那么，我们就不得不说说实数定义带来的一些问题了。
我们知道，数是逐步扩展来的，自然数扩展为整数，整数扩展为有理数，有理数扩展为实数，实数扩展为超实数。而系统的扩展应该要保持一致性的，这样才能避免出现系统间的矛盾性的出现。
但是，我们看，实数定义的“相等”在整数集中就不成立了，你不能说1和2之间没有其他整数就说1=2。
还有，在实数中如果0.999……=1成立，也就是说它们是数轴上的同一点，那么，在超实数中它们又变成了不同的实数了，也就是一个点分裂成2个点了，这不是问题吗？其他数在扩展之后可是保持一致性的，不会出现一个数分裂成2个数的情况。
那么，是不是说问题还是出现在了实数的定义上了呢？
总之，我想补充说明的是，虽然之前我在“无限数没有确定取值”问题上出了错，但是，“不是所有无限数都有确定取值”的猜测还是存在的；对于实数的定义本身可能有问题的疑问还是存在的。我猜想，即便“所有数都能在实数轴上找到”，其中也是有很多数也是不固定的，也就是说“数与点不是一一对应的”，有些数可能是与多个点对应的，它们在“抖动”。这也许就是可以把无穷小再引入“数”的范畴而组成超实数系的原因吧？也许我们终会发现，像无穷小这样具有“没有确定取值”的数其实还有很多，甚至可能是像超越数一样是“数”的主流。
另外，“无穷”、“无限”、“连续”等概念确实是造成很多问题的罪魁祸首，每一次数学危机都与它们有关，现代数学的三大分支都已经在回避它们了，该如何面对它们确实伤脑筋。数学强调抽象、纯理性、远离现实经验，然而，其实，很多数学的基础公设却又是建立在现实经验基础之上的，这可能才是动摇数学大厦的真正危机根源所在吧？例如，可公度性公设，例如，无限可分和连续性，再例如这个数与直线上的点的一一对应，再例如逻辑的“非真即假”，貌似脱离现实经验的纯抽象，其实细究起来又何尝不就是来自于现实经验呢？虽然有些经验只是主观的错觉，有些现实经验已经变化了，而在数学中却没有与时俱进。既然如此，为什么不能直接从“数”的结构上来研究和定义“数”呢？比如，从小数形式的结构着手，而不是从几何。命题也不再是“非真即假”，而是考虑允许“真真”、“假假”、“真假”、“假真”所有可能的组合共存的可能，矛盾论嘛。如此或许可以解决很多问题呢？
无限，无限数，就算以光速跟到世界的尽头也跟不尽的东西，它真的是确定的吗？你又如何确定它确不确定的呢？这还真是个有趣的话题。
实数真的是与直线上的点一一对应的吗？（2）
人真的不能太得意，一得意就忘形，一忘形就容易出问题。
刚说完“思想实验”中的无限数的“抖动”，并因其"抖动"而无法对应到固定的点上，就忽然发现并不是所有无限数都是"抖动"的，比如，0.111……、0.222……之类的无限数就不是“抖动”的。而且，我们也确实知道有些无限数确实是有“确定取值”的，比如，可以用尺规作图将线段三等分，比如，√2也是“确定取值”的数，因为你可以通过作两直角边是1的等腰直角三角形得到长度为√2的线段。
而且我还说“用夹逼法可以得到‘无理数等于某个有理数’的结果”，“因为无理数与相应的某个有理数之间也只是差了一个无穷小”，显然这个说法也是不对的。√2与哪个有理数差无穷小呢？
总之，太具体的命题我还是少说为妙，多说多错，因为我到底不是那个领域的专家。
我也只能是从逻辑的角度发现一些问题、提出一些疑问和猜测，解答能力不是我具备的。
例如，我猜测，所有的代数数应该都是有“确定取值”的吧？而超越数就不好说了，典型的例子，自然数e本身就是个求极限取得的无理数。毕竟随便给一个无限不循环小数，我们甚至都不知道它是不是超越数呢，证明起来很难，通常得一个一个具体地来论证，更何况那些由随机序列构成的无理数呢。
不过，经此，我想，大概不能再用无限数的位数不确定来说无限数没有“确定取值”了。那么，什么样的无限数是有“确定取值”？什么样的无限数是没有“确定取值”的呢？我初步猜测可能跟收敛性有关吧？
那么，再说回来，像0.111……、0.999……这样不抖动的无限数应该是收敛的吧？所以它们应该是有“确定取值”的吧？那么，也应该是实数吧？至于是否0.999……=1，还是依赖于“相等”的定义吧？
那么，我们就不得不说说实数定义带来的一些问题了。
我们知道，数是逐步扩展来的，自然数扩展为整数，整数扩展为有理数，有理数扩展为实数，实数扩展为超实数。而系统的扩展应该要保持一致性的，这样才能避免出现系统间的矛盾性的出现。
但是，我们看，实数定义的“相等”在整数集中就不成立了，你不能说1和2之间没有其他整数就说1=2。
还有，在实数中如果0.999……=1成立，也就是说它们是数轴上的同一点，那么，在超实数中它们又变成了不同的实数了，也就是一个点分裂成2个点了，这不是问题吗？其他数在扩展之后可是保持一致性的，不会出现一个数分裂成2个数的情况。
那么，是不是说问题还是出现在了实数的定义上了呢？
总之，我想补充说明的是，虽然之前我在“无限数没有确定取值”问题上出了错，但是，“不是所有无限数都有确定取值”的猜测还是存在的；对于实数的定义本身可能有问题的疑问还是存在的。我猜想，即便“所有数都能在实数轴上找到”，其中也是有很多数也是不固定的，也就是说“数与点不是一一对应的”，有些数可能是与多个点对应的，它们在“抖动”。这也许就是可以把无穷小再引入“数”的范畴而组成超实数系的原因吧？也许我们终会发现，像无穷小这样具有“没有确定取值”的数其实还有很多，甚至可能是像超越数一样是“数”的主流。
另外，“无穷”、“无限”、“连续”等概念确实是造成很多问题的罪魁祸首，每一次数学危机都与它们有关，现代数学的三大分支都已经在回避它们了，该如何面对它们确实伤脑筋。数学强调抽象、纯理性、远离现实经验，然而，其实，很多数学的基础公设却又是建立在现实经验基础之上的，这可能才是动摇数学大厦的真正危机根源所在吧？例如，可公度性公设，例如，无限可分和连续性，再例如这个数与直线上的点的一一对应，再例如逻辑的“非真即假”，貌似脱离现实经验的纯抽象，其实细究起来又何尝不就是来自于现实经验呢？虽然有些经验只是主观的错觉，有些现实经验已经变化了，而在数学中却没有与时俱进。既然如此，为什么不能直接从“数”的结构上来研究和定义“数”呢？比如，从小数形式的结构着手，而不是从几何。命题也不再是“非真即假”，而是考虑允许“真真”、“假假”、“真假”、“假真”所有可能的组合共存的可能，矛盾论嘛。如此或许可以解决很多问题呢？
无限，无限数，就算以光速跟到世界的尽头也跟不尽的东西，它真的是确定的吗？你又如何确定它确不确定的呢？这还真是个有趣的话题。