近段时间没少琢磨“数”的事，发现不少问题，也犯了不少错误，不过，逐渐的还是有了一些较为确定的想法。小结一下。
首先，“什么是数”？“数的本质是什么”？似乎很少有人思考了，也包括专业人士。他们基本上都集中于“最近”的定义和范式，而忽视了“原始”的、“本质”的东西，“想当然”的东西太多了。
原因可能就是因为数学越来越偏爱形式化、公理化的缘故吧，渐渐的开始歧视甚至讨厌“原始”的东西了。这个话题不想多说了，写几本书都扯不完的皮，只想提醒一句，爱因斯坦就偏爱形象化的思考方式，并且受益匪浅，很多有成就的科学家也多从形象化思考中受到启发、发现问题以及解决问题的。纯抽象，很多时候你真的发现不了问题的真谛。
好吧，说主题，“数”的核心、本质是“确定取值”。这是“数”的本质定义，其他任何定义都必须受它约束，无论你多么“先进”。
这好像是人人都知道的常识，但是事实上，我发现大多数人嘴上承认事实上却是忽视的，从毕达哥拉斯那个时代开始，一直到现在，都是如此。欧多克斯、牛顿、莱布尼兹、柯西、戴德金、康托，……，众口一词地认准了“所有的数都与直线上的点一一对应”、“所有小数都是数”，而从未有人去验证，仿佛天经地义。包括现在公认的实数理论的定义，也就是戴德金分割，没人去质疑戴德金分割的每个分割都是“确定”的吗？
也只有出了问题之后（第二次数学危机），人们才开始反思，然而所有人都懵逼，只有柯西意识到了从“确定取值”的角度来检验“无穷小”的性质，但是也仅限于“无穷小”，并未去检验其他的“数”。——这还不够惊醒吗？如果所有人都能牢记“数的本质是确定取值”，又怎么会出现这样尴尬的事？
但是，人们依然如故。戴德金分割的本质是试图模仿“比例”的方式来定义无理数，但是，他的分割却是允许以任何方式建立分割的，并未加以限制，因为，似乎，只有这样才能使分割完整，不至于有遗漏，从而在数轴上留下“缺口”，但是，这又如何保证每个分割的“确定性”呢？
一个简单的例子，用x^2=2来做分割，这是所有书上都会给的例子。但是，似乎所有人都“想当然”认为这就是一个确定的分割，因为根号2是确定的数。但是，根号2确定，x就是确定的吗？它可是至少有2个取值，同时有2个取值的量是“确定”的吗？量子力学上可是清清楚楚地称这种情况为“叠加态”，是典型的“不确定”状态。
如果上述例子还不明显的话，我们再举一个例子，用0.000……1做分割。
0.000……1是什么？不就是“无穷小”吗？你还能找出比0.000……1更小的数吗？注意中间的“0”是“无限”个，所以别扯什么（0.000……1）/2的事。0.1^n，当n->无穷大时，0.1^n=0.000……1，而不是0，因为0.000……1就是无穷小，不承认无穷小是数，所以0.1^n=0才成立。
戴德金分割并没有禁止这类分割，问题也正出在这里。即，戴德金分割并没有受到“确定取值”的约束，由其定义的“实数集”并不能保证其元素都是“数”，实数只是排除了无穷小，并没有排除其他的“不确定”量，这就是问题：一个“数”集的定义却不能保证其元素是“数”，也不能用来判断一个量是不是数，这样的定义有什么意义呢？在开玩笑吗？自然数集、整数集、有理数集的定义是这样的吗？
同理，“0.999……等于1吗？”，这个问题实质上等价于“0.000……1等于0吗？”
我们都知道，0.999……=0.9+0.09+0.009+……，按照等比数列求和公式可以得出0.999……=1-0.1^n=1-0.000……1
那些专业人士告诉我们，用实数的定义可以证明0.999……=1，那么，同样，用实数的定义也可以证明0.000……1=0。这样的证明有意义吗？
如果事先不知道0.000……1是无穷小，他们一定会说0.000……1是数，而且证明0.000……1=0。现在同样的道理，事先都不知道0.999……是不是数就去证明0.999……=1了，这不正暴露了实数定义的问题了吗？即：用戴德金分割定义的实数根本就不是个数集。——那你又为什么要特意排除无穷小呢？不排除无穷小的话不就直接定义超实数集了吗？
所以，实数的定义必须被重新改写。——不明白为什么那么多数学家、聪明的大脑都发现不了这么浅显的问题，还在那欢呼数学的进步、解决了第二次数学危机。——我能嘲笑他们无知、可怜吗？事实上，就是因为他们，我一再地怀疑自己、质疑自己，不敢轻易地下结论，总觉得是不是自己哪里错了？我才是真的可怜呢。
“数”的概念是扩展的，总有一天会扩展到包含“不确定取值”的领域里去，但是，其扩展的过程也应该遵循逻辑，即：有理数集——》确定数集——》超数集，而不是现在的：有理数集——》实数集——》超实数集。这中间的实数的定义真的是不伦不类。
再回到开始时说的“人们嘴上承认“数的确定取值”事实上却忽视”的问题，最典型的就是“所有小数都是数”这个延续了2000多年的观念问题。
大概从发明出小数这个东西的时候开始，人们就是这么认为的吧？“所有小数都是分数”。发现根号2之后，明明已经知道了“并不是所有小数都是数”了，可是也没有觉醒出去检验“小数是不是数”的意识。欧多克斯重新定义“比例”，进而定义无理数，将数的范围从有理数扩展到实数，也是延续了这个错误，“所有无限不循环小数都是无理数”，进而“所有小数都是实数”，你检验过“所有小数都有确定取值”了吗？
“想当然”，都是“想当然”。
当然，无限小数很难检验是不是“确定”的，这也是原因之一。但是，质疑、批判精神呢？
现在，“所有小数都是数”的观念早已深入人心了。我给一个网友讲解0.999……不是数的时候，道理已经说的很明白了，他还是无法接受：“小数怎么可能不是数呢？”
也不能怪他，康托这么牛逼的人物，在证明“实数是不可列的”时候，不也还是想当然地用了xn=0.a1a2a3……an……这种小数的形式来表示0与1之间的所有实数的吗？
而且，0.999……是数，而且是0.999……=1，也是“自古以来”的共识，欧拉就给过证明。康托在构造（0，1）区间的小数形式实数时也强调要避免重复表示，诸如0.5和0.4999……，0.999……和1等。
事实上，我一再强调“小数不是数的定义，只是数的一种十进制的特殊表现形式”，但是人们好像听不进去。
其实，我自己也一直很困惑：
1）有效小数肯定是确定的，问题出在无限小数上了；
2）我能证明0.000……1、0.000……2、……这类小数不是确定的，因为它们都是无穷小；
3）我能证明0.111……、0.222……、这类无限循环小数不是确定的，因为几何上做不出来；
4）但是，我们又知道根号2、圆周率、黄金分割比例这类无理数是确定的，因为几何上可以画出来；
5）按理，像无限小数这种位数都是不确定的，又怎么可能是确定的呢？但是又却又无限小数是确定的例子，该怎么解释这种情况呢？或者说该如何判定无限小数是确定的还是不确定的呢？
最后我想我是想明白了。
问题就出在“进制”上了。
“小数是数的一种十进制的特殊表现形式”，而并不是所有的数在转换成十进制数的形式的时候都是可以“完全转换”的。所谓的“无限小数”正是这个“不能完全转换”的结果。
进制，实际上就是一个度量衡。比如，1/3
是确定的，因为我们可以做到“用尺规作图均匀三等分一个线段”，因为我们可以采用三进制的标尺，但是，我们却不能做到用一把十进制的标尺将一个线段等为三段，就是因为三进制和十进制之间无法“完全转换”。
那些有限小数就相当于可以用十进制标尺完全均匀等分的情况。
但是，如果采用三十进制的标尺，就即能保持原来的有限小数在转换为三十进制小数形式的时候还是有限小数的形式，也能保证像1/3
这样的三进制数在转换之后也是有限小数的形式了。
也就是说，那些“无限不循环小数”的“无限”并非是必然的，换种适当的进制小数形式就可以是“有限”的，也就是“确定”的。
但是，我们依然要说，1/3是确定的，是数，而0.333……是不确定的，不是数。因为，我们谈的是“数”和“形式”之间的关系，而不是“近似”、“约等于”的问题。不能“完全转换”也就意味着不是“完全相等”，是“约等于”，是“近似”。除非你承认“小数不是数，只是数的一种特殊表现形式”，那么，你也就得取消“所有小数都是实数”这个设定了，因为这句话是在承认“小数这种形式就是数”，那也就意味着不再存在什么“约等于”、“近似”的问题了，要“等于”就得“完全相等”，而我们已经证明了“不能完全转换就是不能完全相等”，而一旦0.333……不能“完全相等”于1/3了，我们也就能证明它不是“确定取值”的了，也就证明它不是“数”了。——就是这么简单，就是这么严格，一切以“确定性”为准。
经过这么一圈的讨论，我们应该很清楚了，小数确实不适合作为数的定义（可以作为数来用，毕竟方便，但要清楚是“近似”，所有权和使用权是有本质区别的）。数的本质定义是“确定取值”，而如何定义这个“确定取值”则是技术问题了，历史上一直以来都是用几何确定性来定义数的确定性的，得在几何上画出来才行，例如“比例”。但是，在现在越来越强调抽象、形式化、符号化定义的潮流下，该如何定义“数”？那就不是我的问题了，那么多专家，总不好吃白饭吧？
而至于根号2、圆周率等这类无理数，用什么样的方式才能绕开小数形式表示下的“无限”性的问题，用“有限”的形式表示出来，我还没搞清楚。无限循环小数的问题，我知道是除法，是进制的问题，而开根号就不能用进制来解释和处理了。到底其本质是什么呢？用什么办法能解决呢？——我有个直觉，如果这个问题能搞清楚，必是数学上的一次飞跃，因为，从“无限不循环小数”的角度看，绝大部分数都是随机数，或者说随机序列更合适，因为它们是“无限”的，还不能确定是不是“数”呢，只有能转换为有限的表现形式或者找到其（公式）出处才能确定其为“数”。现在对于随意给出的一个“无限不循环小数”来判断其是代数数还是超越数还困难重重呢，得一个数一个数地来检验、证明，根本就谈不上按“类”研究，这不由得让我想起了混沌理论研究之初的情形了，必须找到共性乃至普遍性的东西，才能将之归为一类，才能算得上“集合”、算得上“体系”、才能算的上“学”。可见，“数”的领域还多么的原始、有待开拓啊。
对于“实数”定义的批判
近段时间没少琢磨“数”的事，发现不少问题，也犯了不少错误，不过，逐渐的还是有了一些较为确定的想法。小结一下。
首先，“什么是数”？“数的本质是什么”？似乎很少有人思考了，也包括专业人士。他们基本上都集中于“最近”的定义和范式，而忽视了“原始”的、“本质”的东西，“想当然”的东西太多了。
原因可能就是因为数学越来越偏爱形式化、公理化的缘故吧，渐渐的开始歧视甚至讨厌“原始”的东西了。这个话题不想多说了，写几本书都扯不完的皮，只想提醒一句，爱因斯坦就偏爱形象化的思考方式，并且受益匪浅，很多有成就的科学家也多从形象化思考中受到启发、发现问题以及解决问题的。纯抽象，很多时候你真的发现不了问题的真谛。
好吧，说主题，“数”的核心、本质是“确定取值”。这是“数”的本质定义，其他任何定义都必须受它约束，无论你多么“先进”。
这好像是人人都知道的常识，但是事实上，我发现大多数人嘴上承认事实上却是忽视的，从毕达哥拉斯那个时代开始，一直到现在，都是如此。欧多克斯、牛顿、莱布尼兹、柯西、戴德金、康托，……，众口一词地认准了“所有的数都与直线上的点一一对应”、“所有小数都是数”，而从未有人去验证，仿佛天经地义。包括现在公认的实数理论的定义，也就是戴德金分割，没人去质疑戴德金分割的每个分割都是“确定”的吗？
也只有出了问题之后（第二次数学危机），人们才开始反思，然而所有人都懵逼，只有柯西意识到了从“确定取值”的角度来检验“无穷小”的性质，但是也仅限于“无穷小”，并未去检验其他的“数”。——这还不够惊醒吗？如果所有人都能牢记“数的本质是确定取值”，又怎么会出现这样尴尬的事？
但是，人们依然如故。戴德金分割的本质是试图模仿“比例”的方式来定义无理数，但是，他的分割却是允许以任何方式建立分割的，并未加以限制，因为，似乎，只有这样才能使分割完整，不至于有遗漏，从而在数轴上留下“缺口”，但是，这又如何保证每个分割的“确定性”呢？
一个简单的例子，用x^2=2来做分割，这是所有书上都会给的例子。但是，似乎所有人都“想当然”认为这就是一个确定的分割，因为根号2是确定的数。但是，根号2确定，x就是确定的吗？它可是至少有2个取值，同时有2个取值的量是“确定”的吗？量子力学上可是清清楚楚地称这种情况为“叠加态”，是典型的“不确定”状态。
如果上述例子还不明显的话，我们再举一个例子，用0.000……1做分割。
0.000……1是什么？不就是“无穷小”吗？你还能找出比0.000……1更小的数吗？注意中间的“0”是“无限”个，所以别扯什么（0.000……1）/2的事。0.1^n，当n->无穷大时，0.1^n=0.000……1，而不是0，因为0.000……1就是无穷小，不承认无穷小是数，所以0.1^n=0才成立。
戴德金分割并没有禁止这类分割，问题也正出在这里。即，戴德金分割并没有受到“确定取值”的约束，由其定义的“实数集”并不能保证其元素都是“数”，实数只是排除了无穷小，并没有排除其他的“不确定”量，这就是问题：一个“数”集的定义却不能保证其元素是“数”，也不能用来判断一个量是不是数，这样的定义有什么意义呢？在开玩笑吗？自然数集、整数集、有理数集的定义是这样的吗？
同理，“0.999……等于1吗？”，这个问题实质上等价于“0.000……1等于0吗？”
我们都知道，0.999……=0.9+0.09+0.009+……，按照等比数列求和公式可以得出0.999……=1-0.1^n=1-0.000……1
那些专业人士告诉我们，用实数的定义可以证明0.999……=1，那么，同样，用实数的定义也可以证明0.000……1=0。这样的证明有意义吗？
如果事先不知道0.000……1是无穷小，他们一定会说0.000……1是数，而且证明0.000……1=0。现在同样的道理，事先都不知道0.999……是不是数就去证明0.999……=1了，这不正暴露了实数定义的问题了吗？即：用戴德金分割定义的实数根本就不是个数集。——那你又为什么要特意排除无穷小呢？不排除无穷小的话不就直接定义超实数集了吗？
所以，实数的定义必须被重新改写。——不明白为什么那么多数学家、聪明的大脑都发现不了这么浅显的问题，还在那欢呼数学的进步、解决了第二次数学危机。——我能嘲笑他们无知、可怜吗？事实上，就是因为他们，我一再地怀疑自己、质疑自己，不敢轻易地下结论，总觉得是不是自己哪里错了？我才是真的可怜呢。
“数”的概念是扩展的，总有一天会扩展到包含“不确定取值”的领域里去，但是，其扩展的过程也应该遵循逻辑，即：有理数集——》确定数集——》超数集，而不是现在的：有理数集——》实数集——》超实数集。这中间的实数的定义真的是不伦不类。
再回到开始时说的“人们嘴上承认“数的确定取值”事实上却忽视”的问题，最典型的就是“所有小数都是数”这个延续了2000多年的观念问题。
大概从发明出小数这个东西的时候开始，人们就是这么认为的吧？“所有小数都是分数”。发现根号2之后，明明已经知道了“并不是所有小数都是数”了，可是也没有觉醒出去检验“小数是不是数”的意识。欧多克斯重新定义“比例”，进而定义无理数，将数的范围从有理数扩展到实数，也是延续了这个错误，“所有无限不循环小数都是无理数”，进而“所有小数都是实数”，你检验过“所有小数都有确定取值”了吗？
“想当然”，都是“想当然”。
当然，无限小数很难检验是不是“确定”的，这也是原因之一。但是，质疑、批判精神呢？
现在，“所有小数都是数”的观念早已深入人心了。我给一个网友讲解0.999……不是数的时候，道理已经说的很明白了，他还是无法接受：“小数怎么可能不是数呢？”
也不能怪他，康托这么牛逼的人物，在证明“实数是不可列的”时候，不也还是想当然地用了xn=0.a1a2a3……an……这种小数的形式来表示0与1之间的所有实数的吗？
而且，0.999……是数，而且是0.999……=1，也是“自古以来”的共识，欧拉就给过证明。康托在构造（0，1）区间的小数形式实数时也强调要避免重复表示，诸如0.5和0.4999……，0.999……和1等。
事实上，我一再强调“小数不是数的定义，只是数的一种十进制的特殊表现形式”，但是人们好像听不进去。
其实，我自己也一直很困惑：
1）有效小数肯定是确定的，问题出在无限小数上了；
2）我能证明0.000……1、0.000……2、……这类小数不是确定的，因为它们都是无穷小；
3）我能证明0.111……、0.222……、这类无限循环小数不是确定的，因为几何上做不出来；
4）但是，我们又知道根号2、圆周率、黄金分割比例这类无理数是确定的，因为几何上可以画出来；
5）按理，像无限小数这种位数都是不确定的，又怎么可能是确定的呢？但是又却又无限小数是确定的例子，该怎么解释这种情况呢？或者说该如何判定无限小数是确定的还是不确定的呢？
最后我想我是想明白了。
问题就出在“进制”上了。
“小数是数的一种十进制的特殊表现形式”，而并不是所有的数在转换成十进制数的形式的时候都是可以“完全转换”的。所谓的“无限小数”正是这个“不能完全转换”的结果。
进制，实际上就是一个度量衡。比如，1/3 是确定的，因为我们可以做到“用尺规作图均匀三等分一个线段”，因为我们可以采用三进制的标尺，但是，我们却不能做到用一把十进制的标尺将一个线段等为三段，就是因为三进制和十进制之间无法“完全转换”。
那些有限小数就相当于可以用十进制标尺完全均匀等分的情况。
但是，如果采用三十进制的标尺，就即能保持原来的有限小数在转换为三十进制小数形式的时候还是有限小数的形式，也能保证像1/3 这样的三进制数在转换之后也是有限小数的形式了。
也就是说，那些“无限不循环小数”的“无限”并非是必然的，换种适当的进制小数形式就可以是“有限”的，也就是“确定”的。
但是，我们依然要说，1/3是确定的，是数，而0.333……是不确定的，不是数。因为，我们谈的是“数”和“形式”之间的关系，而不是“近似”、“约等于”的问题。不能“完全转换”也就意味着不是“完全相等”，是“约等于”，是“近似”。除非你承认“小数不是数，只是数的一种特殊表现形式”，那么，你也就得取消“所有小数都是实数”这个设定了，因为这句话是在承认“小数这种形式就是数”，那也就意味着不再存在什么“约等于”、“近似”的问题了，要“等于”就得“完全相等”，而我们已经证明了“不能完全转换就是不能完全相等”，而一旦0.333……不能“完全相等”于1/3了，我们也就能证明它不是“确定取值”的了，也就证明它不是“数”了。——就是这么简单，就是这么严格，一切以“确定性”为准。
经过这么一圈的讨论，我们应该很清楚了，小数确实不适合作为数的定义（可以作为数来用，毕竟方便，但要清楚是“近似”，所有权和使用权是有本质区别的）。数的本质定义是“确定取值”，而如何定义这个“确定取值”则是技术问题了，历史上一直以来都是用几何确定性来定义数的确定性的，得在几何上画出来才行，例如“比例”。但是，在现在越来越强调抽象、形式化、符号化定义的潮流下，该如何定义“数”？那就不是我的问题了，那么多专家，总不好吃白饭吧？
而至于根号2、圆周率等这类无理数，用什么样的方式才能绕开小数形式表示下的“无限”性的问题，用“有限”的形式表示出来，我还没搞清楚。无限循环小数的问题，我知道是除法，是进制的问题，而开根号就不能用进制来解释和处理了。到底其本质是什么呢？用什么办法能解决呢？——我有个直觉，如果这个问题能搞清楚，必是数学上的一次飞跃，因为，从“无限不循环小数”的角度看，绝大部分数都是随机数，或者说随机序列更合适，因为它们是“无限”的，还不能确定是不是“数”呢，只有能转换为有限的表现形式或者找到其（公式）出处才能确定其为“数”。现在对于随意给出的一个“无限不循环小数”来判断其是代数数还是超越数还困难重重呢，得一个数一个数地来检验、证明，根本就谈不上按“类”研究，这不由得让我想起了混沌理论研究之初的情形了，必须找到共性乃至普遍性的东西，才能将之归为一类，才能算得上“集合”、算得上“体系”、才能算的上“学”。可见，“数”的领域还多么的原始、有待开拓啊。