（原创）直击数学学习的核心问题

这几天好些家长小窗问我，怎样利用暑假帮助孩子提升学习？的确每到放假，家长们无不四处打听、用心之至，希望自己宝贝通过假期学习实现弯道超车、脱胎换骨，使原本成绩较好的孩子能更上一层楼，成为无可撼动的学霸；使原本成绩较差的孩子也能赶上或者超越中上水平同学。

在回答这个问题之前，我们先回想一下，为什么绝大多数孩子从未间断课外辅导，但效果总是不好。不补课，成绩马上下跌，猛烈补课，学习也没有实质性提升？如果能找到这个问题的答案，孩子学习的症结就找到了。在此基础上，只要稍加引导，他们的学习就会大幅提升，快速进入良性循环。

其实，做任何事情都需要熟知其中的基本范式，这里的基本范式包括基本概念、基本方法、基本思维、基本规范，简称“四基”。如果是数学学习，还必须懂得每一句数学语言（即数学行话）的符号表达式，因为数学是符号的科学。这样的“行话”并不多，小学不超过100句，初中不超过150句，高中不超过200句。如果我们把每一句“行话”作为一个英语单词，从初中到高中也就是几百个英语单词。由于数学具有严密的逻辑性，所以记住一句行话比记住一个英语单词容易得多。关于“基本规范”的阐述，大家可以参阅本人博文《数学修为的法门》http://blog.sina.com.cn/s/blog_e56e1f410102wpay.html

但遗憾的是，多数家长把重点放在了“解题”上，选择老师的标准是：会教孩子做题，题目越难越好。

数学学习肯定离不开做题，关键是以什么理念作为学习目的，是以引导学生夯实“四基”为目的，还是以追求“答案”为目的？如果是前者，重点应该放在“解题过程”上，每一步的逻辑关联、思维推进和规范表述以及“四基”对于解题过程的牵引必须交代得十分清晰；如果是后者，它的重点就会放在“最终结果”上，对于逻辑关联、思维推进和规范表述完全忽略，或者蜻蜓点水。我的观点是：解题过程中，如果没有发现基本概念的作用，即使解法正确，同样属于囫囵吞枣！

假设以引导学生提升“四基”能力为教学目的，就不应该选择太难的习题，因为理解和掌握“四基”对于一个小中学生而言难度非常大，如果把习题选得太难，学生们就会把精力放在“解题”上，而不是对“四基”的深度挖掘上。相反，假设以追求“答案”为目的的教学，老师会选择难度较大的习题，试图以高难度习题提升学生的综合能力。但是如果一个学生“四基”不牢，他们即使把答案拼出来，也是稀里糊涂、不知所云，效果可想而知。

强化“四基”是否需要做难题？答案是肯定的，但是不建议在学习新知识的时候就把习题的难度提得太高，而是在学生掌握了相应知识点的“四基”之后，再适当加大难度，以便让学生运用较高难度的综合习题进一步加深对“四基”的理解。只有由浅入深的教学，才能既减轻学生对于数学学习的压力和恐惧，又能让学生达到举一反三的学习效果。通过这些方法，可以引导学生体会那种张弛有度的逻辑美，以润物细无声的方式培养学生们对于数学学习的兴趣，最终达到凤凰涅槃的神奇效果。

由此可知，学习数学一直滞留于对简单题的重复不可取，一开始就给学生偏题、怪题、难题（简称为“偏怪难”）更不可取。这些“偏怪难”对于学生是好事还是坏事，主要取决于学生在面对这些题的时候，是否具备了良好的“四基”能力。如果已经具备了，当然是大好事；如果没有具备，那就是去分摊教学费和教室费的，而且对孩子的学习兴趣和学习信心是摧毁性的打击。这就是为什么一个班里能够学好奥数的只有寥寥几个学生的原因。

可以看出，有些学生对数学不感兴趣甚至恐惧，根本原因不在孩子身上，而是家长望子成龙，在孩子还没有掌握“四基”的情况下，错误地把他们送到了“偏怪难”的教室里，孩子在没有相应基础能力的条件下，上课听不懂、下课做不出，整个过程犹如梦游一般，这样的学习怎么不给孩子产生压力？在这种压力下，孩子对学习怎么可能不产生厌倦情绪？有了厌倦情绪，为了寻找新的寄托，孩子们很可能会迷上游戏，一旦进入了游戏的魔窟，要想他再次回到学习态，比登天还难。这就是一个学生演变成为差生的过程。

学习数学与学习书法、美术、音乐的方法一模一样。一个孩子学习书法，一开始就练习行书草书，而不是认真练习楷书，结果会怎样？一个学生学习美术，一开始就画油画和水彩，而不是练习素描，结果会怎样？一个学生学习钢琴，一开始就弹斯特劳斯，而不是练习音阶，结果又会怎样？为什么达芬奇能够成为世界绘画巨匠？因为他画了三年鸡蛋！

需要指出的是，千万不要以为“四基”就很简单，其实掌握一个知识点的“四基”比学会一道“偏怪难”要难得多，因为“四基”是由概念、方法、思维和规范构成的本原系统，而“偏怪难”只是从某个侧面反映了相对具体的知识点的运用。

既然“四基”比“偏怪难”更难，为什么要先学更难得“四基”，而不是首先学习相对简单的“偏怪难”呢？为了说明这个问题，我们首先对两个事物难度系数的叠加进行说明。

设甲事物的难度系数为a，乙事物的难度系数为b，当两事物纠缠于一体的时候，其难度系数就会产生叠加，这种叠加不是加法关系，而是在加数和的基础上多出一部分，我们把这一部分称为派生难度系数。为简便、直观起见，我们用两事物难度系数的乘积来定义纠缠事物的派生难度系数，即a*b。于是，甲乙两事物的纠缠难度系数为a+b+a*b。换句话说，两个难度系数为1的事物叠加以后，其难度系数并不是1+1=2，而是1+1+1*1=3。

下面阐述“四基”和“偏怪难”两者难度大小的含义。

假设“四基”的难度为m，“偏怪难”的难度为n。如前所述，m>n。在实践中，为什么总觉得“偏怪难”的难度比“四基”的难度大呢？

第一、如果一个学生已经掌握了难度系数为m的“四基”，那么“四基”与“偏怪难”之间就不会产生纠缠关系，而是两个独立的事物，只要该生克服难度系数n，就可以解决“怪难偏”了，此时就有m>n。这就是学霸不存在难题的原因。

第二、如果一个学生没有掌握相应的“四基”，当他面对一道“偏怪难”的时候，“四基”就会与“偏怪难”的产生纠缠，使得总体难度变为m+n+m*n，这个难度值远远大于m，此时就会有一种错觉，认为“偏怪难”比“四基”难很多。之所以叫错觉，是因为造成这个结果，不是“偏怪难”本身引起的，而是由于“四基”未被消化所产生的纠缠难度之所至。这就学渣恐惧难题的原因。

例如，某个知识点的“四基”的难度系数为3，某一“偏怪难”的难度系数为1，如果一个学生已经掌握了该“四基”，此时只需要克服1个难度系数就能够解决本“怪难偏”。如果该生没有掌握相应的“四基”，而要直接面对这一“偏怪难”，此时的难度系数应该是3+1+3*1=7。在此情形下，后者的解题难度是前者解题难度的7倍。前者作为学霸的水平本来就很高，后者作为差生的水平本来就有问题，差生的解题难度又是学霸解题难度的七倍之多，两者间的学习差距可想而知。

以上分析表明，优先提升“四基”能力对于数学学习具有十分重要的意义，从某种意义上说，在缺乏“四基”的情况下，“偏怪难”的难度会急剧放大，极大地增加了同学们的学习难度和学习负担。提升学生们的“四基”能力，既是对优等生培优的最佳选择，也是差等生脱差的不二法门。由此可见，数学学习的核心问题就是对“四基”能力的提升问题。