作者：@中科大胡不归

【作者按：《古今数学思想》，莫里斯·克莱因著，张理京等译，上海科学技术出版社，2014年1月第一版。上一篇见http://weibo.com/p/1001603891056688148101。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五  的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603890377051472262。】

第17章：微积分的创立。本篇记录此章第7节的下半部分和第8节的上部分。

7、微积分的一些直接增补（下）

伯努利兄弟在微积分方面的工作，是关于求曲线的曲率、法包线（曲线法线的包络）、拐点、曲线求长以及其他基本的微积分课题。牛顿和莱布尼茨的结论后来扩展到各种各样的螺线、悬链线和曳物线（其中PT和OT的比等于常数，图17.20）。

詹姆斯·伯努利还写了五篇关于级数的文章（第20章第4节），把牛顿的级数的应用扩展到积分复杂的代数函数和超越函数。1691年詹姆斯·伯努利和约翰·伯努利给出曲率半径的公式，詹姆斯·伯努利称之为“黄金定理”：

z = dxds : ddy = dyds : ddx，

其中z是曲率半径。如果我们用ds2除每一个比的分子和分母，就得到

z = (dx /ds) / (d2y /ds2) = (dy /ds) / (d2x/ds2)。

这是更熟悉的形式。詹姆斯·伯努利也在极坐标中给出了这个结果。

约翰·伯努利作出一个现今著名的定理，用来求一个分式当分子和分母都趋于0时的极限。这个定理由约翰·伯努利的学生洛必达（Guillaume F. A. L'Hospital，1661—1704）编入微积分的一本有影响的书《无穷小分析》（Analyse des infiniment petits，1696）中，现在通称为洛必达法则。按：这个法则说的是，在a的某个去心邻域上有两个连续可导的函数f(x)和g(x)，g'(x) ≠ 0，而x趋于a时f(x)和g(x)的极限都为0，则x趋于a时f(x) /g(x)的极限等于x趋于a时f'(x) /g'(x)的极限。这是0 /0型的用法。洛必达法则也适用于∞ /∞的情况。

8、微积分的可靠性（上）

从引进求速度、切线、极值等新方法开始，它的证明就被攻击为是不可靠的。卡瓦列里的不可分量震惊了重视逻辑严密性的人们。卡瓦列里答复说，当代的几何学家在逻辑方面比他还随便——开普勒在《测量酒桶体积的新科学》中就是一例。按：“你那个‘别人家的孩子’还不如我呢！”这种论证显然不可能让批评者满意……

他继续说，这些几何学家在面积计算中满足于模仿阿基米德的求直线的总和的办法，但没有给出像希腊人那种完整的证明。他们满足于他们的计算，只要结果有用就行了。卡瓦列里感到有理由采用同样的观点：“严密是哲学所关心的，而不是几何所关心的事情。”按：有些人可能会以此为理由鼓吹中国古代数学。但不要忘了，西方数学家早就见识过严密性，只是进入了一个为了创造暂时牺牲严格的阶段，将来还是会把微积分严格化的。而中国古代数学从来没有达到过欧几里得的严密水平，好比一个刚进入社会的少年和李嘉诚同样都说“做人呢，最要紧的就是开心”，内涵能一样吗？

费马、帕斯卡和巴罗意识到他们在求和工作中的不严密性，但是相信照阿基米德的方式就能作出严密的证明。在《德东维尔的信》（1659）中，帕斯卡断言：“凡是能用不可分量的正确法则证明的东西，也能用古代的方式去严密地证明。”更进一步，他说不可分法必定会受到任何一个自称为几何学者的数学家的承认。它和古代的方法只是语言上的不同。为了做正确的工作所必需的东西是专门的“技巧”，而不是几何的逻辑，正如宗教对皈依的领会高于理智一样。按：这个比喻好犀利！克莱因对宗教的嘲讽，大家都看出来了……

在微积分中运用的几何的悖论，如同圣经中明显的荒唐事一样，几何中的不可分量与有限量之间的关系同人类的公正与上帝的公正之间的关系是一样的。按：连发！KO！

关于导数，早期的作者如费马和罗贝瓦尔认为他们有一套简单的代数程序，有非常明白的几何解释，因而能用几何的论据证明是合理的。当费马不能用穷竭法去核实他提出的任何想法时，他谨慎地避免宣布一般性的定理。按：这对于追求普遍性的数学家来说，是很大的牺牲。

牛顿和莱布尼茨都没有清楚地理解也没有严密地定义他们的基本概念。牛顿实际上不相信他违背了希腊几何，认为归根到底他的方法不过是纯几何的自然延展。然而莱布尼茨像笛卡尔一样，是一个思想开阔、很有远见的人，他看到了新思想有长远的潜力，而且毫不犹豫地宣告新科学出世了，因此对于微积分中严密性的缺乏不很担心。

对于他的思想的批评者，莱布尼茨作出各种不能令人满意的回答。他的1690年3月30日给沃利斯的信中说：

“考虑这样一种无穷小量将是有用的，当寻找它们的比时，不把它们当作是零，但是只要它们和无法相比的大量一起出现，就把它们舍弃。例如，如果我们有x dx，就把dx舍弃。但是如果我们求x dx和x之间的差，情况就不同了。类似地，我们不能把xdx和dxdx并列。因此如果我们微分xy，我们写下(x dx) (y dy) - xy = xdy ydx dxdy。但dxdy是不可比较地小于xdy ydx，所以必须舍弃。这样就在任何特殊的情况下，误差都小于任何有限的量。”按：莱布尼茨的这种说法完全正确，现在的自然科学家正是这么操作的。柯西和维尔斯特拉斯已经把微积分严格化，而非标准分析更证明这种貌似口头语言的做法也能保证正确。