作者：@中科大胡不归

【作者按：《中国古代数学思想》，孙宏安著，大连理工大学出版社2008年4月第一版，编入《数学科学文化理念传播丛书》。上一篇见http://weibo.com/p/1001603896345634165313。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五  的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603894914281779553。】

第四章：数学思想的理论奠基——刘徽的数学思想。本篇记录此章第5节第4部分的（3），以及我对刘徽的总体评价。

4.5 不同数学思想的问题解决比较

（3）刘徽与阿基米德比较

两人得到了相同的命题，但又有很大的差别。

一，刘徽是用一个算法表述的，因此他的证明必须给以一定的数据。当他设半径为1时，就求出了圆周率。这个算法在解决实际问题时成为模型。阿基米德采用演绎证明的方式，证明了一个抽象的命题，更合乎欧几里得关于形的拼补无需通过具体的面积数据的思想。按：当然是阿基米德的做法更高明。

二，刘徽的方法更具有实用意义，因为给出了具体的数据，特别是具体的算法，可用于计算任何同类的稳态。他利用算法作了多位数的计算，且使用了十进分数，表明算法化思想深入发展。阿基米德作的则是一个严格的论证。两者的出发点和目标显然是不同的。按：作者真以为，读者会愚笨到看了阿基米德的证明还学不会算法？

三，刘徽自如地使用了极限概念，体现了中国古人辩证和直观的思维特征。不存在是不是理论自洽的问题，只要是能够得出成功地用于实际的方法就是合理的，所以虽然没有严格论证但是可以使用。阿基米德则保持《几何原本》的排除实无限的严格证明观点，用穷竭法避开无限分割的问题。按：刘徽固然是自如地使用了极限概念，但阿基米德岂不是更自如地使用了极限概念？还什么“辩证和直观”，非要把一个缺点说成特点，也是呵呵了。

命题3也很说明问题。关于圆周率的值，刘徽是计算的结果。而对于阿基米德来说，必须先有一个命题，先得出圆周率的范围再来证明。阿基米德要得出的是两个几何量的比例范围，而不是具体的圆周率的数据——这个率是一个不可公度量，是他不承认的。按：古希腊人不承认无理数，这给他们造成了很大的困扰。为了绕开这个问题，欧几里得发展了一整套基于比例而不是数值的理论，在《几何原本》的第5卷。

可见阿基米德充分发扬了欧几里得《几何原本》的精神，似乎也正是如此，对不能由公理和已证命题推导出来的命题2也只好作为公理形式提出而不证明了（据说是用实验方法得到的）。按：存疑。阿基米德肯定知道命题2不是个公理，而且它不是个精确的命题。

可见刘徽的数学思想是《九章算术》特点的发扬：实用性体系、算法化内容、模型化方法的发展，但是也增加了理论化、逻辑化思想成分。阿基米德的数学思想则正是《几何原本》的特点——理论性体系、抽象化内容、公理化方法——的深入发展。这两方面就是整个中国古代数学和古希腊数学各自数学思想的体现。

【我对刘徽的评价：从刘徽对体积、面积、开方等很多问题的处理，尤其是刘徽原理来看，刘徽的创造力如长江大河一般滔滔不绝，令人惊叹。我觉得，刘徽的智力水平跟欧多克索斯、欧几里得、阿基米德是同一级别的。可惜由于他之前的中国数学缺乏理论积累，缺少可站立的巨人肩膀，刘徽的数学成果比欧多克索斯、欧几里得、阿基米德还是低一个级别。请注意，这么说不是对刘徽的贬低，而是巨大的赞誉。好比称赞一个物理学家比爱因斯坦只差一个级别，大多数人都会感到十分荣幸吧。至于在数学教育方面的成就，刘徽比欧几里得低了至少两个级别。任何有中等智力的人都能读懂《几何原本》，至少是其中的大部分内容。现在的中学平面几何课本仍然在用《几何原本》的讲法，可见这是最容易理解、最深入浅出、最普世的讲授方法。徐光启翻译《几何原本》时，在《几何原本杂议》中对它作了一个公允的评价：“此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。有三至、三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之至难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已。……窃意百年之后必人人习之，即又以为习之晚也，而谬谓余先识，余何先识之有？”而《九章算术》虽然一直传世，刘徽注却由于过于简略，思想又超越其他人太多，以至于对它的理解很快就出现了困难。

唐朝初年，李淳风（不错，就是跟袁天罡一起预言武则天篡唐、写作《推背图》、在《西游记》中闪亮登场的神人李淳风！）与国子监算学博士梁述、太学助教王真儒等人也对《九章算术》作了注释。除了均输章“负笼”问的注释有点新意，及少广章开立圆术的注释引用祖暅之开立圆术，保存了祖暅之原理及祖暅之解决球体积的方法，极为宝贵外，其他注释多是重复刘徽注，几无新意。更奇怪的是，李淳风等多次指责刘徽。事实证明，所有这些地方，错误的不是刘徽，而是李淳风等。李淳风等对刘徽的指责，徒然表明李淳风等无法理解刘徽注的理论贡献及刘徽提出的新方法的重大意义，反映了李淳风等数学水平的低下。这是隋唐时期中国数学比魏晋南北朝落后的一个侧面。（郭书春《<九章算术>译注》，上海古籍出版社2009年12月第一版）

古代经常出现科学水平的绝对下降，即前人会的后人不会了，这是现代无法想象的。古希腊的数学在5世纪后毁于宗教和兵火，欧洲进入将近1000年的蒙昧时期，就是一个绝对下降的例子。从阿拉伯人那里辗转发现《几何原本》、《圆锥曲线》等古希腊数学文献时，欧洲人惊为天书。

刘徽注的意义真正得到阐明，还是近几十年的事。有多少古人看懂了刘徽的精妙思想呢？恐怕是屈指可数。至于说引发科学革命，改变世界历史进程，就更谈不上了。由此观之，在数学教育的效果上，我说刘徽比欧几里得低了两个级别，还算上限的估计咧！】