作者：@中科大胡不归

【作者按：《古今数学思想》，莫里斯·克莱因著，张理京等译，上海科学技术出版社，2014年1月第一版。上一篇见http://weibo.com/p/1001603890859161590704。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五  的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603890377051472262。】

第17章：微积分的创立。本篇记录此章第7节的上半部分。

7、微积分的一些直接增补（上）

微积分当然是数学中最庞大的部分的开端，这一部分一般叫做分析。我们将在以下几章里叙述这个领域中的重要发展，但是在这里，我们可以注意在牛顿和莱布尼茨的基础工作之后立即作出的一些补充。

在牛顿的《普遍的算术》（1707）中，他建立了多项式方程实根的上界定理：数a是f(x) = 0的实根的上界，如果用a代替x时，f(x)和它的所有的的导数都给出相同的符号。按：原因是f(x) = f(a) f'(a) (x - a) f"(a) (x - a)2 /2 …。如果f(a)、f'(a)、f"(a)等都为正或者都为负，那么对于大于a的x，右边的每一项都为正或者都为负，因此f(x)不可能等于0。这只能用来确定实根的上界而不能确定下界，是因为如果x - a < 0，那么右边x - a的奇次幂和偶次幂的符号就不同，无法确定f(x)的符号。

在《分析学》和《流数法》中，他给出一个一般的方法去逼近f(x) = 0的根，发表在1685年沃利斯的《代数》里。拉夫森（Joseph Raphson，1648—1715）在小册子《普遍方程分析》（Analysis Aequationum Universalis，1690）中改善了这个方法，虽然他只把这个方法应用到多项式，但它有更广泛的用处。这个修改后的方法现在叫做牛顿法或者牛顿—拉夫森法。它首先是选择一个近似值a，然后计算b = a - f(a) /f'(a)，再计算c = b - f(b) /f'(b)，如此继续做下去。数a、b、c、…是根的逐次近似值。实际上，这个方法不一定给出根的越来越好的近似值。穆拉耶（J. Raymond Mourraille）在1768年证明，a必须选择得使y = f(x)的曲线在a和根的区间内凸向x轴。很久以后，傅里叶（Joseph Fourier）也独立地发现了这一点。按：牛顿—拉夫森法是数值计算的重要方法。

罗尔（Michel Rolle，1652—1719）在他的《任意次方程的一个解法的证明》（Démonstration d'une méthode pour résoudre les égalitéz detous les dégrez，1691）中给出了著名的以他的名字命名的定理，即如果函数在x的两个值处等于0，那么在两者之间的某个x值上，函数的导数等于0。罗尔叙述了定理但没有证明。按：微分学有三大中值定理，分别属于罗尔、拉格朗日、柯西。

在牛顿和莱布尼茨之后，微积分的两个最重要的奠基者是伯努利兄弟。詹姆斯·伯努利[也叫雅各布（Jakob）或雅克（Jacques），1655—1705]是自学数学的。按：三个名字应该分别是英文、拉丁文和法文的拼法。

在他父亲的敦促下，他为作一个牧师而进行学习，但最后转向了数学，并在1686年成为巴塞尔（Basel）大学的教授。按：李政道的两个儿子现在都是名牌大学的教授。他们小时候问父亲：如果我们真的很愚笨，将来怎么办？李政道回答：你们可以去当牧师！

从此以后，他的主要兴趣就是数学和天文学。在17世纪70年代末，当他开始研究数学问题时，他还不知道牛顿和莱布尼茨的工作。他也学习了笛卡尔的《几何》、沃利斯的《无穷的算术》以及巴罗的《几何讲义》。虽然他从巴罗那里学到很多，但他却把巴罗的结果表示为分析的形式。他逐渐熟习了莱布尼茨的工作，但是因为后者的工作很少印出发表，所以使得詹姆斯·伯努利的许多结果和莱布尼茨重叠。实际上，他和当时的数学家一样，并没有充分理解莱布尼茨的工作。按：罗素：莱布尼茨的手稿在我手里，嘿嘿嘿……

詹姆斯·伯努利的活动和他的弟弟约翰·伯努利[或叫做Johann或让（Jean），1667—1748]的活动紧密地连接在一起。约翰·伯努利被父亲送去经商，但转向了医学，并从哥哥那里学习数学。他成为荷兰格罗宁根（Groningen）的数学教授，后来继承他的哥哥成为巴塞尔的数学教授。

詹姆斯·伯努利和约翰·伯努利都经常和莱布尼茨、惠更斯以及其他数学家通信，他们俩也互相通信。所有这些人都致力于信中提出的或者提出作为挑战的许多共同的问题。在这些日子里，因为结论也是在信中通知的，随后也没有发表，所以谁先发表是一个复杂的问题。有时把荣誉归于那些虽已公开但当时还没有证明的结论。按：由此可见现代的期刊制度是多么重要，对学术交流和成就归属都很有好处。个人通信只能把科学保持在小圈子游戏的规模上，公开发表才能使科学成为全世界的事业。中国的研究组发表了一篇文章，立刻引起许多从未谋面的美国、印度、英国、巴西科学家的兴趣与跟进研究，这是当代的常态。古人看到这样的景象，必定会深感欣慰。如果说有一个领域最接近天下大同，那么无疑就是基础研究。

问题由于独特关系的出现而更加复杂化。约翰·伯努利非常急于成名而开始和他的哥哥竞争，很快两人在许多问题上互相挑战。约翰·伯努利毫不迟疑地用不正当手段把别人的包括他哥哥的成果作为自己的结果。詹姆斯·伯努利非常敏感，并且照样回击。他们各自发表文章，大部分互相取资，但不指明他们思想的来源。约翰·伯努利实际上成了他哥哥的尖刻的批评者，莱布尼茨想在两人之间进行调和。虽然在赞扬巴罗时，詹姆斯·伯努利早就说过莱布尼茨的工作不应该贬低，但是他越来越怀疑莱布尼茨。另外，他忿恨莱布尼茨超等的洞察力，认为莱布尼茨态度傲慢，因为詹姆斯·伯努利认为起源于自己的事情，莱布尼茨声称他已经做了。他开始确信莱布尼茨蓄意要贬低他的工作，而且在他们兄弟间的争吵中偏袒约翰·伯努利。按：好一场狗血大战！亲兄弟尚且不能相容，郑庄公和共叔段、袁谭和袁尚、刘琦和刘琮、曹丕和曹植、源赖朝和源义经、查理曼的三个孙子、忽必烈和阿里不哥等无数人士发来贺电。这样看起来，杨振宁和李政道的不欢而散也可以理解。不过詹姆斯跟约翰的争斗仍然没多少意义，因为一般人或者不知道他们，或者知道他们，但还是把他们称为伯努利兄弟！

当法蒂奥·德·杜伊利埃（Nicholas Fatio de Duilier，1664—1753）赞扬牛顿创立了微积分而且卷入与莱布尼茨的争论时，詹姆斯·伯努利写信给法蒂奥反对莱布尼茨。按：牛顿和杜伊利埃建立了非常亲密的关系，直到1693年他们的友谊破裂。1691年，杜伊利埃打算编写一个新版本的牛顿《自然哲学的数学原理》，但从未完成它。这场友谊的结束让牛顿患上了神经衰弱。一些研究牛顿的传记作者认为他们是基友……