作者：@中科大胡不归

【作者按：《古今数学思想》，莫里斯·克莱因著，张理京等译，上海科学技术出版社，2014年1月第一版。上一篇见http://weibo.com/p/1001603888359708738752。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五  的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603885282943444416。】

第17章：微积分的创立。本篇记录此章第3节的第六部分。

3、牛顿的工作（6）

第11节中牛顿从运动定律和引力定律推断出两个按照引力彼此吸引的物体的运动法则。它们的运动归结为一个物体围绕着固定的第二个物体的运动，这个运动的物体是沿着椭圆移动的。

然后他考虑均匀密度和变化密度的球体对一个质点的吸引力。他给出一个几何证明（第12节命题70），证明一个薄的匀质球壳对它内部的质点没有吸引力。因为这个结论对薄壳成立，所以对于这样的薄壳的和即一定厚度的壳也成立。（他后来证明命题91系3，对于均匀的椭球壳，这个结论也成立。）命题71证明一个薄的均匀球壳对外部质量的吸引力，等于球壳的质量集中在中心时产生的吸引力。命题73证明一个均匀的实心球体，吸引内部质点的力与质点离开球心的距离成比例。至于球体对外部质点的吸引力，命题74证明它与球的质量集中在中心时产生的吸引力是相同的。据此，如果两个球互相吸引，第一个球对第二个球的每一个质点的吸引力就好像第一个球的质量集中在它的中心时一样。这样，第一个球就成为被第二个球的离散质量吸引的质点，所以第二个球也可以当作质量集中在中心的一个质点。因此两个球都可以作为质量分别集中在中心的质点。所有这些由牛顿首创的结论，都推广到密度是球对称的球体，以及不同于平方反比定律的其他引力定律。按：高中讲质点概念时，只提到两个物体的距离远远大于半径，可以忽略物体的大小，实际作实验、做题的时候却常有球的半径和距离相差不远的情况。当时并没有更多的说明，真正起作用的就是牛顿证明的这些定理。

接着，牛顿着手处理三体运动，这三体的每一个吸引其他两个，得到一些近似的结果。三体运动问题成为牛顿以来的一个主要问题，至今还未解决。按：《三体》！三体问题之所以困难，是因为它是混沌的，即初始条件的小的扰动会随着时间指数增大，很快就面目全非。

《原理》的第二卷是研究物体在气体和液体那样有阻力的介质中的运动，这是流体动力学的开端。牛顿在一些问题中假定介质的阻力与运动物体的速度成比例，在另一些问题中假定与运动物体速度的平方成比例。按：飞机受到的空气阻力在速度较低时与速度成正比，在速度较高时与速度的平方成正比。

他考虑物体必须具有什么形状才能使它遇到的阻力最小（见第24章第1节）。按：原来流线型是牛顿提出来的？

他还考虑了钟摆和射弹在空气和液体中的运动。有一节是研究空气中的波动理论的（例如声波），并且得到声音在空气中的速度公式。他还论述了水中的波的运动。按：牛顿对波动理论很熟悉，那么他为什么不接受光的波动说呢？

牛顿接着描写他所作的一些用来决定在流体中运动的物体所受的阻力的实验。一个主要的结论是：行星在真空中运动。按：牛！

在这本书中牛顿完全打开了一个新的境界，但是流体运动的决定性工作还有待于完成。

第三卷的标题是《论世界的体系》（On theSystem of the World），它将第一卷中建立的普遍理论应用于太阳系。它说明了太阳的质量怎样可以用地球的质量计算出来，并说明了任何有卫星的行星的质量也可以用同样的方法去求。他计算了地球的平均密度，发现它在水密度的5~6倍之间（今天的数值是5.5）。

他证明地球不是一个真的球而是一个扁球，而且计算了扁平度。他的结论是扁球的椭率是1 /230（今天的数值是1 /297）。从观察到的任何一个行星的扁率，就可以算出它的日长。用扁平度的大小以及向心力，牛顿计算了地球的引力在地球表面上的变化。它证明扁球的引力与这扁球的质量集中在中心时的引力是不一样的。

然后他解释（分点）岁差，依据是：地球不是球体，而是沿着赤道凸出的。因此在月球的引力作用下，地球的受力点不是中心，而是周期性地在地球的旋转轴上变动。这个变化的周期，牛顿计算出来是26000年。这个值曾由希帕恰斯从他所能得到的观察资料中推断出来过。按：见本读书笔记的第23篇，第7章《希腊人对自然形成理性观点的过程》第4节《希腊的数理天文学》。

牛顿说明了潮汐的主要特征（第一卷的命题66和第三卷的命题36和37）。月球是主要原因，太阳是第二位的原因。用太阳的质量他算出了太阳潮汐的高度。由观察大潮和小潮的高度（太阳和月球正连成一线或正相反时发生的潮汐），他求出了太阳潮汐并估计了月球的质量。牛顿还制出一些近似办法来讨论太阳对月球绕地球运动的影响，他求出了月球在纬度和经度的运动、拱点线的运动（连接地球中心到月球的最大距离的线）、交点的运动（月球轨道与地球轨道平面的交点，这些点退行着，即背着月球自身运动的方向缓慢地移动）、出差（月球轨道偏心度的周期变化）、年方程（地球和太阳间距离的每天变化对月球运动的影响），以及月球轨道平面与地球轨道平面的倾角的周期变化。按：早就知道你是神了，用不着这么卖力……

月球运动无规律性已知有七项，牛顿又发现了两项：远地点（拱点线）的不等性和交点的不等性。他的近似法只给出拱点线运动的一半。1752年克莱罗（Alexis-Claude Clairaut）改进了计算，并得到满3度的拱点线的旋转。然后，很晚以后，亚当斯（John Couch Adams）在牛顿的论文中发现了正确的计算。按：关于达芬奇和特斯拉的笔记有很多言过其实的传说，为什么关于牛顿的笔记却没有呢？

最后，牛顿证明彗星一定是在太阳的引力下运动的，因为在观察的基础上测定出它们的轨迹是圆锥曲线。正如我们在前一章中指出的，牛顿花了大量的时间于月球运动的问题，是因为这个知识对于改进求经度的方法是必需的。他工作得如此艰苦，以至他抱怨说，这个问题使得他头疼。按：以牛顿的智慧，花费过多在月球问题上可能有点浪费，他本可以研究更多更普遍、更深刻的问题的。