作者：@中科大胡不归

【作者按：《古今数学思想》，莫里斯·克莱因著，张理京等译，上海科学技术出版社，2014年1月第一版。上一篇见http://weibo.com/p/1001603888138454994323。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五  的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603885282943444416。】

第17章：微积分的创立。本篇记录此章第3节的第五部分。

3、牛顿的工作（5）

牛顿的第一本包括微积分的书是他的巨著《自然哲学的数学原理》。只要涉及微积分的基本概念，即流数或者我们说的导数，牛顿就作出几种陈述，他舍弃了无穷小量或者最后的不可分量而用了“消失的可分量”，即能够无穷地缩小的量。按：这有区别吗……

在《原理》的第一版和第三版中，牛顿说：“量在其中消失的最后比，严格说来，不是最后量的比，而是无限减少的这些量的比所趋近的极限，而它与这个极限之差虽然能比任何给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前既不能越过也不能达到这个极限。”这是他曾经给过的作为最后比的意思最清楚的说明。按：有门！提到了极限，尤其关键的是提到了与极限之差能比任何给出的差更小。这也是使穷竭法成为严格方法、超出其他文明的模糊思想的关键之处。

他还说：“最后速度的意思是，它既不是在物体达到最后位置（在该处假定物体停止）之前的速度，也不是在达到以后的速度，而是正达到的那瞬间的速度……因此，同样的，就消失量的最后比来说，应理解为不是在量消失以前，也不是消失以后，而是正当它们消失时的比。”按：刚刚沾着点边，立刻又犯了芝诺佯谬飞矢不动的错误。

在《原理》中牛顿用了几何的证明方法。然而在包含他的未出版著作的《朴茨茅斯论文集》（Portsmouth Papers）中，他用分析的方法找出了一些定理。他诉诸几何的一个原因是相信证明更能被他的同时代人理解。另外一个原因是他非常赞赏惠更斯的几何著作并希望和它并列。按：牛顿那时对惠更斯还是仰视的，可能他自己都没想到《原理》出版后他和惠更斯、胡克等人的地位就翻转了，以至于这些人在后世的名声很大部分都来自他们跟牛顿的关系。

他证明当AR和BR（图17.15）垂直于弧ACB在A点和B点的切线时，弦AB、弧ACB和AD这三个量中任意两个的最后比，当B接近于A并和A重合时，都等于1。他在第一卷的引理2的系3中说：“因此在关于最后比的所有推论中，我们可以用这些线中的任意一个随意代替另一个。”然后他证明，当B接近并重合于A时，三角形RAB、RACB、RAD中任意两个的面积之比将等于1。“因此在关于最后比的所有推论中，我们可以用这些三角形中的任意一个代替另一个。”

虽然这本书是研究天体力学的，但是对于数学史也有极大的重要性。这不仅因为牛顿自己的微积分方面的工作大部分是由他对书中处理的问题的压倒一切的兴趣激发的，而且还因为《原理》对许多问题提出了新的课题和研究方式，而这些问题经过下一个世纪的研究，产生出大量的分析成果。

《原理》分成三卷。在引言性章节中牛顿定义了诸如惯量、动量和力等力学概念，然后叙述了三条著名的运动学公理或定律。在他的书中是这样说的：

定律I、每一个物体保持它原来的静止状态或匀速直线运动状态不变，除非由作用于它的力迫使它改变这种状态。

定律II、运动的（量的）改变与施加的动力成正比，而且是朝着力所作用的直线方向改变。

牛顿第二定律实际上是矢量的叙述。牛顿在特殊的问题中用了力的矢量特性，但是定律的矢量本质的全部意义首先是由欧拉充分认识的。这个定律具体化了对亚里士多德力学的关键性的改革，亚里士多德断言力引起速度。他还断言，力对于维持速度是必需的。定律I否定了这一点。

定律III、每一个作用总是引起一个相等的反作用。

前两个定律是先前由伽利略和笛卡尔发现并提出、而由牛顿给以更明确和更概括的叙述的。在质量和重量之间的差别，也归功于这些人。按：原来牛顿运动定律并非完全是牛顿的贡献。这就更加强了前面的判断，牛顿的主要威力在于数学。

《原理》的第一卷以一些微积分的定理开始，包括上面引到的关于最后比的一些定理。然后讨论了中心力作用下的运动，并且证明了命题1：在相等的时间内扫出相等的面积（这包含了开普勒的面积定律）。按：实质是在中心力场下角动量守恒。只需要力指向一个中心即可，不需要对距离平方反比。

接着，牛顿考虑了一个沿着圆锥曲线运动的物体，并且证明（命题11、12和13）：力必定是随着到某个定点的距离的平方的反比变化的。他还证明了逆定理，这包含开普勒的第一定律。在作了向心力的论述之后，他推出了开普勒第三定律（命题15）。接着的两节是研究圆锥曲线性质的。主要的问题是构造满足五种已知条件的二次曲线，这些条件实际上是平常观察的数据。这样，已知一个物体沿着圆锥曲线移动的时间，他求出了它的速度和位置。他着手于拱点线（apse line）的运动，即连接（在一个焦点上的）引力的中心和沿着一条本身以某种速度绕焦点旋转的圆锥曲线移动的物体的最大或最小距离位置的直线。第10节参考特殊的单摆运动来研究物体沿着表面的运动。这里牛顿给惠更斯以应有的感谢。联系到重力在运动中的加速作用，他研究了摆线、圆外旋轮线、四尖圆内旋轮线的几何性质，并给出圆外旋轮线的长度（命题49）。