作者：@中科大胡不归

【作者按：《古今数学思想》，莫里斯·克莱因著，张理京等译，上海科学技术出版社，2014年1月第一版。上一篇见http://weibo.com/p/1001603887999552245181。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五  的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603885282943444416。】

第17章：微积分的创立。本篇记录此章第3节的第四部分。

3、牛顿的工作（4）

流数法同《分析》中使用的方法并无本质区别，也没有任何好一点的严密性。但是《流数法》的观点毕竟是有些不同了。瞬ẋo和ẏo是随时间o变化的，而在第一篇论文中的瞬是x和z的最后的固定的一小片。这个新观点是遵循着伽利略的更富有动力学思想的想法；而旧的观点是运用卡瓦列里的静力学不可分法。正如牛顿指出的，这个改动只是为了从不可分法的学说中排除生涩，但是瞬ẋo和ẏo仍然是某种无穷小量。另外，x和y的对于时间的流数或者导数ẋ和ẏ从来没有真正定义过，这个中心问题是避开了的。

已知ẋ和ẏ之间的关系，要求出x和y之间的关系，比之仅仅积分x的函数更困难些。牛顿处理了几种类型的问题：（1）有ẋ、ẏ，还有x或y出现；（2）有ẋ、ẏ、x和y出现；（3）有ẋ、ẏ、ż和它们的流量出现。第一类是最简单的，即求解dy /dx = f(x)。在第二类中，牛顿处理了ẏ/ẋ = 1 - 3x y x2 xy，而且是用逐步逼近法去解的。他从ẏ/ẋ = 1 - 3x y作为第一近似出发，得到作为x的函数的y，将这个y值代入原等式的右边，并继续这一手续。牛顿叙述了他的做法，但没有证明。在第三类中，他解了2ẋ - ż ẏx = 0。他假定了x和y之间的一个关系式，比如说x = y2，于是ẋ = 2ẏy。这样，方程就成为4ẏy - ż - ẏy2 =0，从此得到2y2 y3/3 = z。所以如果把第三章类型认为是偏微分方程，那么牛顿只得到了一个特殊积分。

牛顿在1672年12月10日写给柯林斯的信中，说：

“这是普遍方法的一个特殊方法，或者更确切地说，一个推理，它本身用不着任何麻烦的计算，不仅可以用来作出任何曲线的切线（不管这曲线是几何的还是机械的），而且还可以用来解出其他关于曲度、面积、曲线的长度、重心等深奥问题；它的应用并不限于没有无理根的方程。通过把方程化为无穷级数，我把这个方法和在方程中起作用的其他方法紧密结合起来。”

牛顿强调无穷级数的用处，因为用它能处理像(1 x)3 /2一类的函数，而他的前人却完全限制在有理代数函数方面。

在写于1676年、发表于1704年的第三篇微积分论文《求曲边形的面积》（Tractatus de Quadratura Curvarum）中，牛顿说他已放弃了微元或无穷小量。他现在批评扔掉含o项的做法，因为：

“在数学中，最微小的误差也不能忽略……在这里，我认为数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的。直线不是一部分一部分地连接，而是由点的连续运动画出的，因而是这样生成的；面是由线的运动，体是由面的运动，角是由边的旋转，时间段落是由连续的流动生成的……

随我们的意愿，流数可以任意地接近于在尽可能小的等间隔时段中产生的流量的增量，精确地说，它们是最初增量的最初的比，它们也能用和它们成比例的任何线段来表示。”按：“在数学中，最微小的误差也不能忽略”是一句著名的坑爹语言，因为牛顿和当时其他微积分研究者的做法都充满了误差，他们的反对者就是以此发起攻击的。牛顿再次把自己绑定在连续运动上，那么阶跃函数就在他的处理范围之外，更加奇怪的函数如f(x) = 1（当x是无理数）、0（当x是有理数）更会让他抓狂。

这就是牛顿的新概念——最初和最后比的方法。他考虑函数y = xn。为了求出y的流数，设x“由流动（by flowing）”成为x o。xn就成为

(x o)n = xn noxn-1 [(n2 - n) /2] o2xn-2 …

x和y的增量的比，即o和noxn-1 [(n2 - n) /2] o2xn-2 …的比，等于

1和nxn-1 [(n2 - n) /2] oxn-2 …的比

“现在设增量消失，它们的最后比就是”

1比nxn-1。

因此x的流数和xn的流数的比就等于1比nxn-1，或者如我们今天说的，y对于x的变化率是nxn-1，这是最初增量的最初比。当然，这种说法的逻辑性并不比前面的两种好；然而牛顿说这个方法与古代的几何是融洽的，而且没有必要引进无穷小量。按：连牛顿都喜欢引用古人以增加自己的可信度，可见在现代科技兴起之前“信而好古”是各个文明的通例，中国不必因为这一点妄自菲薄。

牛顿还给出了几何的解释。在图17.14中，假定bc移向BC，使得c和C重合，那么曲边三角形CEc以“最后的形式”和三角形CET相似，因此它的“即将消失的”各边将和CE、ET和CT成比例。所以AB、BC和AC的流数在它们消失的增量的最后比中，和三角形CET或者三角形VBC的边成比例。

在《流数法》中，牛顿作了一些应用，用流数法微分隐函数，求曲线的切线、函数的最大值与最小值、曲线的曲率和曲线的拐点。他也得到了曲线下的面积和曲线的长度。关于曲率，他给出曲率半径的正确公式，即

r = (1 ẏ2)3 /2 /ÿ，

其中ẋ取作1。他还给出极坐标中的曲率半径的公式。最后，他附了一个积分简表。按：牛！就一个字！

在写完微积分的基本论文以后，过了很长时间，牛顿才发表这些论文。他的流数理论最早发表在沃利斯的《代数》（Algebra，1693年，拉丁文第二版）中，牛顿写了书的第390至396页。如果当初他写出来就发表的话，也许可以避免与莱布尼茨发生谁先发现的争论。按：人生若只如初见，何事秋风悲画扇。等闲变却故人心，却道故人心易变……