作者：@中科大胡不归

【作者按：《古今数学思想》，莫里斯·克莱因著，张理京等译，上海科学技术出版社，2014年1月第一版。上一篇见http://weibo.com/p/1001603886937101443636。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五  的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603885282943444416。】

第17章：微积分的创立。本篇记录此章第2节的第二部分。

2、17世纪初期的微积分工作（2）

关于第三类问题即求极值的工作可以说是由开普勒的观测开始的。在他的《测量酒桶体积的新科学》（1615）中，他证明在所有内接于球面的、具有正方形底的正平行六面体中，立方体的容积最大。他注意到，当越来越接近最大体积时，对应于一个尺寸固定的变化，体积的变化越来越小。按：这是因为变化率正比于导数，而极值处导数为零。

费马在他的《求最大值和最小值的方法》中给出了他的方法，并用下面的例子进行说明：已知一条线段，要找出它上面的一点，使被这点分成的两部分线段组成的矩形最大。他把整个线段叫做B，部分为A，那么矩形的面积就是AB - A2。然后用A E代替A，矩形的面积就成为(A E) (B - A - E)。他把这两个面积等同起来，因为他认为当取最大值时，这两个面积应该相等。所以

AB EB - A2 - 2AE - E2 = AB - A2。

两边消去不同的项：

EB = 2AE E2。

用E除两边，得到：

B = 2A E。

然后令E = 0（他说去掉E项），得到B = 2A。因此这矩形是正方形。

费马说，这个方法是完全普遍的。他这样描述道：如果A是自变量，并且如果A增加到A E，那么当E变成无限小，且当函数经过一个极大值（或极小值）时，函数的前后两个值将是相等的。把这两个值等同起来，用E除方程，然后使E消失，就可以从所得的方程确定使函数取极值的A值。这个方法实质上是他用来求曲线的切线的方法。基本的事实在那里是两个三角形相似，而在这里是两个函数值相等。

关于第四类问题，17世纪求面积、体积、重心、曲线长的工作开始于开普勒。圆的面积对他来说是无穷多个三角形的面积，每个三角形的顶点在圆心，底在圆周上，于是由周长乘上半径除以2，就得到了圆的面积。类似地，他认为球的体积是小圆锥的体积的和，这些圆锥的顶点在球心，底在球面上。他把圆锥看成是非常薄的圆盘的和，并由此算出它的体积。然后他证明球的体积是半径乘球面积的三分之一。在阿基米德的《球和柱》（Spheroids and Conoids）的启发下，他把面积旋转成新的图形，并计算其体积。同样地，他把被弦割下的弓形绕着弦旋转，并求其体积。

用无数个同维的无穷小元素之和来确定曲边形面积和体积，是开普勒方法的精华。把圆看作无数个三角形的和，在他的思想中是用连续性原理（第14章第5节）证明的。他看到两种图像本质上没有区别。由同样的理由，一条直线和一个无穷小面积实际上是一样的；而且在一些问题中，他的确认为面积就是直线的和。

在《两门新科学》中，伽利略对于面积的想法和开普勒的想法相似。在处理匀加速运动问题时，他给出了论据，证明在时间—速度曲线下的面积就是距离。他认为A'B'是某个瞬时的速度，如果乘上一个无穷短的时间，又是所走过的无穷小距离，然后证明由直线A'B'组成的面积OAB必定是总的距离。因为AB是32t，OA是t，所以OAB的面积是16t2。这个推理当然是不清楚的。但在伽利略的思想里，却得到一种哲学观点的支持，即面积OAB是由A'B'那样无数多个不可分的单位堆积而成的。

卡瓦列里（BonaventuraCavalieri，1598—1647）是伽利略的学生，博洛尼亚一学府的教授。他在开普勒和伽利略的影响下，并且后者的敦促下，考察了微积分问题。卡瓦列里把伽利略和其他人在不可分量方面的思想发展成几何方法，并出版了《用新的方法推进连续体的不可分量的几何学》（Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova quadam RationePromota，1635）。他认为面积是无数个等距平行线段构成的，体积是无数个平行的平面面积构成的；他分别把这些元素叫做面积和体积的不可分量。卡瓦列里承认组成面积或体积的不可分量的数目一定是无穷大的，但他不想在这点上反复推敲。粗浅地说，正如卡瓦列里在《六道几何练习题》（Exercitationes Geometricae Sex，1647）中指出的，不可分法认为线是由点构成的，就像链是由珠子穿成的一样；面是由直线构成的，就像布是由线构成的一样；立体是由平面构成的，就像书是由页组成的一样。不过，它们是对于无穷多个组成部分来说的。

卡瓦列里的方法（或者原则）可以用下面的命题来说明（这个命题当然可以用其他方法证明）。为了证明平行四边形ABCD是三角形ABD或者BCD的两倍，他证明当GD = BE时，GH = FE。三角形ABD和BCD是由相等数目的等长线段GH和EF构成的，所以一定有相等的面积。

这个原则已编入现在通行的立体几何书中，作为一个定理，叫做卡瓦列里定理。这个原则说，如果两个立体有相等的高，而且它们的平行于底面并且离开底面有相等距离的截面面积总是有一定的比，那么这两个立体的体积之间也有这个比。运用这个原则，卡瓦列里证明了圆锥的体积是外接圆柱的三分之一。按：高中立体几何课本上就是用卡瓦列里原理求出球、圆锥等许多几何体的体积的。例如球体积等于一个圆柱中挖去一个倒置的圆锥后剩下的体积，因为在任何高度上，前者的截面（一个圆形）和后面的截面（一个环形）面积相等。这种巧妙的思想令我惊叹不已。这绝对是远远超出常识的东西，如果让我在当时的条件下求球的体积，不可能想到这样的招数。中国三国时的刘徽想用类似的原理算出球体积，设计了几何体“牟合方盖”，但没有成功。南北朝时的祖冲之、祖暅父子在刘徽的基础上继续研究，终于提出了跟卡瓦列里原理完全相同的祖暅原理，成功地求出了球体积，比卡瓦列里早1100多年。神矣哉！

同样，他考虑了在两条曲线下的面积。把面积看成纵坐标的和，如果一条曲线的纵坐标与另一条曲线的纵坐标的比是常数，那么这两个面积也有相同的比。他用这个方法在《一百道杂题》（Centuria di varii problemi，1639）中证明：对于从1到9的正整数n，公式

∫0a xn dx = an 1/ (n 1)

成立。

卡瓦列里的不可分法遭到了同时代人的批评。他企图回答他们，但没有严密的理由。有些时候他宣称他的方法只是一个避免穷竭法的实用方法。许多数学家像费马、帕斯卡和罗贝瓦尔都用了这个方法，甚至用了“纵坐标的和”那样的语言，但是他们把面积想象成无数无穷小长方形的和，而不是线的和。