《古今数学思想》读书笔记（43）

作者：@中科大胡不归

【作者按：《古今数学思想》，莫里斯·克莱因著，张理京等译，上海科学技术出版社，2014年1月第一版。上一篇见http://weibo.com/p/1001603880366103510286。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五  的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603879090011948287。】

第12章：文艺复兴时期数学的贡献。本篇记录此章的第1、2节。

题词是开普勒的：“对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的。”

1、透视法

艺术家们最先表示出对自然界恢复了兴趣。他们享有表达思想的自由，因为他们的工作被认为是“无害的”。

文艺复兴时期的艺术家们受雇于王公贵族去执行各种任务，从创作图画到设计防御工事、运河、桥梁、军事器械、宫殿、公共建筑和教堂。所以他们必须学习数学、物理、建筑学、工程学、石工、金工、解剖学、木工、光学、静力学和水力学。他们进行了手工操作，但也解决了最抽象的问题。在15世纪他们是最好的数学物理学家。

在中世纪颂扬上帝和为圣经插图是绘画的目的。对图形的要求是象征性超过现实性。到文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的目标。于是面临一个数学问题，就是把三维的现实世界绘制到二维的画布上。

布鲁内莱斯基（又译“布鲁内列斯基”，Filippo Brunelleschi，1377—1446）是第一个认真地研究并使用数学的艺术家。他读了欧几里得、希帕恰斯和维泰洛在数学和光学方面的作品，并且向佛罗伦萨的数学家托斯卡内利（Paolo del Pozzo Toscanelli，1397—1482）学习数学。画家乌切洛（Paolo Uccello，1397—1475）和马萨丘（Masaccio，1401—1428）也探索了实际透视法的数学原理。

数学透视法方面的天才是艾伯蒂（又译“阿尔贝蒂”，Leone Battista Alberti，1404—1472）。他的《论绘画》（Della pittura，1435）一书1511年出版，它的性质虽然全是数学，其中也包含了一些光学方面的工作。他的另一本重要的数学著作是《数学游戏》（Ludi mathematici，1450），这本书里有机械、测量、计时和炮术方面的应用。在眼睛和景物之间插进一张直立的玻璃屏板，设想光线从眼睛或观测点出发射到景物本身的每一个点上。他把这些光线叫做光束棱锥或投影线。设想在这些线穿过玻璃屏板（画面）之处都标出一些点子，他把这点集叫做截景。截景给眼睛的印象和景物本身一样，所以作画逼真的问题就是在画布上作出一个真正的截景。按：以前一直听说中国画是写意的，西洋画是写实的，原来写实的原理是这样。

艾伯蒂在《论绘画》中提供了一些正确的法则，但是没有给出全部细节。他提出了一个很重要的问题：两个截景之间有什么数学关系，或它们有什么共同的数学性质？这问题是射影几何发展的出发点。

达芬奇认为一幅画必须是实体的精确再现，透视法就是“绘画的舵轮和准绳”。对他来说，绘画是一种科学，因为它揭示了自然界的真实性；由此，绘画比诗歌、音乐和建筑更为优越。达芬奇关于透视法的著作包含在《绘画专论》（Trattato della pittura，1651）中，这书由某个不知名的作者编辑，采用了达芬奇有关笔记中最有价值的材料。按：达芬奇成为绘画大师，靠的不只是画鸡蛋，更重要的是科学！小时候只讲前面的鸡汤，不讲后面的干货……

把透视法的数学原理以相当完整的形式陈述出来的画家是弗兰西斯卡（Piero della Francesca，约1410—1492）。他的主要著作《透视画法论》（De prospettiva pingendi，1482—1487）推进了艾伯蒂的投影线和截景的思想。

文艺复兴时期全体艺术家中最好的数学家要算是德国人丢勒（Albrecht Dürer，1471—1528）。他的《圆规直尺测量法》（Underweysung der Messug mid dem Zyrkel und Rychtscheyd，1525）主要是几何方面的书。

从16世纪起透视法的理论就在绘画学校里按照大师们写下的原理讲授。透视法方面的权威性著作是很久之后才由18世纪的数学家泰勒（Brook Taylor）和兰伯特（Johann Heinrich Lambert）写出来的。

2、几何本身

15、16世纪除透视法外，几何学的发展没有给人深刻的印象。丢勒、达芬奇和帕乔利（Luca Pacioli，约1445—1514）（他是一个意大利的修士，弗兰西斯卡的学生，达芬奇的朋友和教师）讨论的一个几何题目是作圆的内接正多边形。这些人试图按阿拉伯人阿布尔韦法曾考虑过的限制，用直尺和开口固定的圆规来完成作图，但他们只给出了近似的方法。

贝内代蒂扩大了问题，寻找用直尺和开口固定的圆规来解欧几里得的所有作图问题。一般的问题是由丹麦人莫尔（George Mohr，1640—1697）在《奇妙的欧氏纲要》（Compendium Euclidis Curiosi，1673）一书中解决的。

莫尔在他的丹麦文《欧几里得》（Euclides Danicus，1672）一书中还指出，凡能用直尺和圆规作的图也可以只用一个圆规来完成。马斯凯罗尼（Lorenzo Mascheroni，1750—1800）重新发现只用一个圆规就足以完成欧几里得作图这一事实，并且发表在他的《圆周几何》（La geometria del compass，1797）一书中。

达芬奇对等腰梯形的重心给出了一个正确的方法和一个不正确的方法。然后他不加证明地给出了四面体重心的位置，在底面三角形的重心到顶点的连线上四分之一的地方。

两个新颖的几何思想出现在丢勒的一些次要的著作里。第一个是空间曲线。空间螺旋线在平面上的投影是各种各样的平面螺旋线，丢勒指出如何去画它们。他还介绍了外摆线，这是一个动圆在一个定圆外滚动时动圆上一点的轨迹。第二个思想是考虑曲线和人影在两个或三个相互垂直的平面上的正交投影。这个想法丢勒只是接触了一下，后来到18世纪时由蒙日（Gapard Monge）发展为画法几何。

达芬奇、弗兰西斯卡、帕乔利和丢勒在纯粹几何学方面的工作，从其有无新结果的观点来看是不重要的，主要价值是广泛地传播了某些几何知识。丢勒的《圆规直尺测量法》的第四部分与弗兰西斯卡的《论规则形体》（De Corporibus Regularibus，1487）和帕乔利的《神妙的比例》（De Divina Proportione，1509）一起，重新引起人们对立体几何的兴趣。立体几何学在开普勒时代繁荣起来。

另一个几何的活动是制作地图。地形勘察揭露出现有地图的不妥当，同时揭开了新的地理知识。地图的制作和印刷开始于15世纪后半叶，以安特卫普和阿姆斯特丹为中心。按：想想鸦片战争时的差距，英国有详尽的世界地图，中国绝大多数人却连英国在哪儿都不知道，甚至连大地是球形都不知道……

制作地图的最有意义的新方法是克雷默（Gerhard Kremer）提出的，他也叫墨卡托（Mercator，1512—1594），他把终身贡献给这门科学。1569年他作出一幅地图，用了著名的墨卡托投影。纬线和经线是直线。经线是等距离的，但纬线的间隔是递增的。当纬度L递增时，他令纬线间的距离按倍数1 /cos L递增。只在这种投影下地图上相互两点的罗盘方位才是正确的。于是球面上罗盘方位是常数的线（即所谓斜驶线，它与子午线有相同的交角）成为地图上的一条直线。

虽然16世纪制作地图的工作中没有出现很多新的数学思想，但是后来这个问题被数学家们接了过去，并引导出微分几何中的工作。