作者：@中科大胡不归

【作者按：《古今数学思想》，莫里斯·克莱因著，张理京等译，上海科学技术出版社，2014年1月第一版。上一篇见http://weibo.com/p/1001603886676547077791。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五  的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603885282943444416。】

第17章：微积分的创立。本篇记录此章第1节和第2节的第一部分。

题词是牛顿墓志铭：“他以几乎神一般的思维力，最先说明了行星的运动和图像、彗星的轨道和大海的潮汐。”

1、促使微积分产生的因素

紧接着函数概念的采用，产生了微积分。它是继欧几里得几何之后，全部数学中的一个最大的创造。虽然在某种程度上，它是已被古希腊人处理过的那些问题的解答，但是微积分的创立，首先是为了处理17世纪主要的科学问题的。

有四种主要类型的问题。第一类是已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数的公式，求速度和距离。这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于17世纪涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。比如，计算瞬时速度就不能像计算平均速度那样用运动的时间去除移动的距离，因为0 /0是无意义的。

第二类是求曲线的切线。要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线射入透镜的角度，这就要求出法线或切线。运动物体在轨迹上任一点处的运动方向是轨迹的切线方向。

实际上，甚至“切线”本身的意义也是没有解决的问题。对于圆锥曲线，把切线定义为和曲线只接触于一个点而且位于曲线的一边的直线就足够了。这个定义古希腊人曾经用过。但是对于17世纪用的较复杂的曲线，它就不适用了。

第三类是求函数的最大值和最小值。一个实际问题是求能获得最大射程的发射角。17世纪初期，伽利略断定（在真空中）最大射程在发射角是45度时达到。研究行星的运动也涉及这个问题，例如求行星离开太阳的最远和最近距离。

第四类是求曲线长（例如行星在已知时间中移动的距离）、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体（例如行星）作用于另一物体上的引力。按：最后这个问题的意思是，地球对地球表面物体的引力是否可以视为把地球的质量都集中在地心？牛顿曾经被这个问题困扰了很久，只有在解决它之后才对自己的体系放了心，出版了《自然哲学的数学原理》。

古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，但这个方法缺乏一般性。穷竭法先是逐渐地被修改，后来由于微积分的创立而被根本地修改了。

2、17世纪初期的微积分工作（1）

微积分问题至少被17世纪十几个最大的数学家和几十个小一些的数学家探索过。位于他们全部贡献的顶峰的是牛顿和莱布尼茨的成就。这里只能谈谈这两位大师的一些先驱者的主要贡献。

从距离求瞬时速度的问题及其逆问题，不久就被看出是计算一个变量对另一个变量的变化率的问题及其逆问题的特例。一般变化率问题的第一个有效的解决属于牛顿，这将放在后面考察。

先叙述几种求切线的方法。罗贝瓦尔（1602—1675）在《不可分量论》（Traité des indivisibles，此书注明1634年，可是直到1693年才出版）中，推广了阿基米德用来求螺线上任一点处切线的方法。同阿基米德一样，罗贝瓦尔认为曲线是一个动点在两个速度作用下运动的轨迹。例如，炮弹是在水平速度和垂直速度的作用下，这两个速度的合速度是它们构成的平行四边形的对角线。他把这条对角线作为切线。正如托里拆利指出的，罗贝瓦尔的方法是应用了伽利略宣布过的法则，水平的和垂直的速度是彼此独立地作用着的。托里拆利应用罗贝瓦尔的方法，求得了曲线y = xn的切线。

把切线定义为合速度方向的直线，这个新概念适用于许多旧概念不适用的曲线。但很多曲线是在与运动无关的情况下产生的，这个定义就不适用了。所以求切线的其他方法受到欢迎。

费马的方法是在1629年已设计好，但在1637年的手稿《求最大值和最小值的方法》中才发现的。这方法实质上就是现在的方法。设PT是曲线上一点P处的切线。TQ的长叫次切线。费马的计划是求出TQ的长度，从而知道T的位置，最后就能作出切线TP。

设QQ1是TQ的增量，长度为E。因为ΔTQP相似于ΔPRT，所以

TQ : PQ = E : T1R。

但是费马说，T1R和P1R是差不多长的；因此

TQ : PQ = E : (P1Q1 - QP)。

用我们现在的符号，把PQ叫做f(x)，我们就有

TQ : f(x) = E : [f(x E) - f(x)]。

因此TQ = E * f(x) /[f(x E) - f(x)]。

用E除分子和分母。然后令E = 0（他说是去掉E项），就得到TQ。按：例如f(x) = x2，则TQ = E * x2 / (2xE E2) = x2/ (2x E)，令E = 0，得到TQ = x/2。

笛卡尔在《几何》的第二册中给出了他的纯代数方法，不牵涉极限概念，但是仅仅适用于简单多项式曲线。笛卡尔批评了费马的方法，而且想用自己的思想去解释它。费马却也宣称自己的方法优越，他看到了用小增量E的好处。

巴罗（1630—1677）也给出了求切线的方法。巴罗是剑桥大学的数学教授，精通希腊文和阿拉伯文，他能够翻译一些欧几里得的著作并修改一些欧几里得、阿波罗尼斯、阿基米德和特奥多修斯的作品的译文。他的主要著作《几何讲义》（Lectiones Geometricae，1669）是对微积分的一个巨大贡献。其中他应用了几何法，正如他指出的：“从讨厌的计算重担中解放出来。”1669年巴罗辞去了他的教授席位并让给牛顿，自己转向神学的研究。按：巴罗是一个大牛人，更难得的是他的识人之明和博大胸怀，大有鲍叔牙、徐元直、恩格斯的风范。事了拂衣去，深藏身与名。至于神学研究嘛，就当张良隐退后的从赤松子游……

在《几何讲义》的第十讲中，巴罗求出曲线的切线。实质上，他的方法和费马的方法是一致的。