《古今数学思想》读书笔记（21）

作者：@中科大胡不归

【作者按：《古今数学思想》，莫里斯·克莱因著，张理京等译，上海科学技术出版社，2014年1月第一版。上一篇见http://weibo.com/p/1001603872936271692281。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我发布的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五  的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603869306801751379。】

第7章：希腊人对自然形成理性观点的过程。本篇记录此章的前三节。

题词是罗吉尔·培根（Roger Bacon）的：“数学是科学的大门和钥匙。”

1、希腊数学受到的启发

除了偶尔一些提示外，希腊经典著作如欧几里得的《原本》、阿波罗尼斯的《圆锥曲线》和阿基米德的几何著作都没有说到这些作家为什么要讲究这些材料。就这一点而论，希腊的数学书与现代数学课本和论著没有什么差别。按：黑的漂亮……正如杨振宁的笑话：“数学书有两种，第一种看了第一页就不想再看了,第二种是看了第一行就不想再看了！”

要了解为什么希腊人能创造出那么多重要的数学，就必须研究他们的目的何在。希腊人对了解自然界有那么一股迫切而不可遏制的愿望，推动他们创造和看重数学。数学是对自然界进行研究的主力军，是了解宇宙的钥匙，因为数学规律是宇宙布局的精髓。

欧多克索斯主要是个天文学家。欧几里得不仅只写《原本》，还写《现象》（用于研究恒星天球运动的球面几何著作）、《光学》、《镜面反射》、《音乐原理》（Elements of Music）和其他力学方面的短篇著作。托勒玫直接声明他是为研究天文而创立三角术的。知道了人的心智活动是怎样进行的，而且详细知道了欧拉和高斯是怎样进行工作的，就可以相当肯定地说，那些天文、光学和音乐方面的研究必定启发他们提出数学问题，因此搞数学的目的很可能是为了用之于这些领域。

我们从数学家著作中推出的这些猜测也能从希腊哲学家的著作中获得无可否认的证据来加以肯定，而那些哲学家本人也是杰出的数学家或科学家。

2、关于自然界的理性观点的开始

从我们对希腊文明和文化可以有相当确凿而具体知识的时代（约公元前600年）起，他们的知识分子对自然界采取一种完全新的态度：合理的、批判的和世俗性的。持这种理性观点的诚然只有知识分子，只有古典时期和亚历山大时期的一小群人。

爱奥尼亚学派是最早断定自然界实质的人。也许他们有点太急于想认识全貌，所以就幼稚地断然作出广泛的结论。这些人至少敢于凭他们的理智来面对宇宙，而不肯依赖于神、灵、鬼、怪、天使以及其他神秘的力量。按：上古时宗教迷信是笼罩社会的默认值，泰勒斯提出万物皆源于水，勇气令人景仰。而现在的传教士一开口就是科学的局限，仿佛宗教是来把人从科学的压迫下解救出来的，真是颠倒黑白！

3、数学设计信念的发展

把对自然作用力的神秘、玄想和随意性去掉，并把似属混乱的现象归结为一种井然有序的可以理解的格局，走向这方面的有决定意义的一步是数学的应用。第一批提出这种合理化的和数理哲学性自然观的人是毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯派的宗教思想是带神秘色彩的，但他们的自然哲学却是理性化的。数是他们解释自然的第一原则，所有物体都由点或“存在单元”按照相应的各种几何形象组合而成。毕达哥拉斯派的信条是：“万物皆数也。”按：对点的强调似乎是原子论的前身。

毕达哥拉斯派把音乐归结为数与数之间的简单关系，是因为发现了下列两个事实：第一，弹弦所发出的声音取决于弦的长度；第二，绷得一样紧的弦若其长度成整数比，就会发出谐音。毕达哥拉斯派也搞出了一个著名的希腊音阶（musical scale）。

毕达哥拉斯派把行星运动归结为数的关系。行星发出的声音因其离地球的距离而异而且都配成谐音。

晚期的毕达哥拉斯派干了一件显然与传统决裂的事，他们最早相信地球是个球。又因为他们相信10是理想的数，所以他们肯定移动的天体必定有10个。第一个是中心火球，所有天体包括地球都绕它转动。加上地球、5个行星、日、月，只有9个。因此他们提出存在第10个天体，叫反地球（counter-earth），也是绕中心火球转的。这个反地球我们看不见，因为它在中心火球的另一侧以恰好相同于地球的速度运动，又因为住人的那部分地球是背朝中心火球的。按：好想象力！有人认为存在反物质组成的宇宙，说不定受到了毕达哥拉斯派的启发呢。

还有一种信念，认为天体是永恒的、神圣的、完美并且不变的，而尘世物体，即地球和彗星，则要变化、分解、腐朽和死灭。这据说也是从毕达哥拉斯派来的。按：彗星内牛满面：不就骑个扫帚吗？抗议歧视体力劳动者！《封神演义》中最后被封为扫帚星的姜子牙前妻马氏默默地点了个赞。

1、2、3、4这四个数叫四象（tetractys），是特别受重视的，因它们相加成10。据说毕达哥拉斯派的誓言是：“谨以赋予我们灵魂的四象之名宣誓。长流不息的自然的根源包含于其中。”毕达哥拉斯派认为自然是由四元性组成的，例如点、线、面、体，以及土、气、水、火四种元素。四种元素也在柏拉图的自然哲学中占中心地位。因为10是理想的，故10代表宇宙。10的理想性就需要使整个宇宙能用10种对立的范畴来描述：奇与偶，有界与无界，善与恶，右与左，一与多，雌与雄，直与曲，正方与长方，亮与暗，静与动。按：数字神秘主义是文化程度低的人最容易理解的貌似科学的东西，也是民科最喜欢研究的领域之一。

现在我们可以认识到何以不可公度比的发现对毕达哥拉斯派哲学是那么可悲的打击。他们相信一直线是由有限个点（他们把它和物理质点视为等同）组成的，但对根号2那样的长就不可能是如此。如果他们把无理数当作数来接受，他们那个视整数为至上的哲学就要垮台。

由于毕达哥拉斯派把天文和音乐“归结”为数，这两门学科就同算术和几何发生了联系，这四门学科都被人看成是数学学科。甚至一直到中世纪，这仍包括在学校课程中，当时号称“四大科”。

生长在毕达哥拉斯与柏拉图之间那些年代里的哲学家同样关心现实的本质，但没有直接把数学加进去。像巴门尼德（公元前5世纪）、芝诺（公元前5世纪）、恩培多克勒（Empedocles，公元前约484—约前424）、留基伯（Leucippus，约公元前440年）和德谟克利特（公元前约460—约前370）这些人的论点和观点，也像他们的爱奥尼亚前辈一样，是不涉及数量问题的。按：这里遗漏了一个最重要的哲学家，即柏拉图和色诺芬的老师苏格拉底。罗素在《西方哲学史》中指出，色诺芬与柏拉图对苏格拉底的描述有不少矛盾之处。苏格拉底的实际观点是哪一种？还是跟两种都不同？对此无法得出结论。

柏拉图是仅次于毕达哥拉斯本人的最杰出的毕达哥拉斯派，他是传播这种主张的最有影响的一个人，即认为只有通过数学才能领悟物理世界的实质和精髓。柏拉图比毕达哥拉斯派走得更远，他不仅想通过数学来了解自然，而且要用数学来取代自然界本身。柏拉图认为天文学所要关心的不是可见天体的运动。要知道真正的天文学，必须先“把天放在一边”，因为真正的天文学是研究数学天空里真星的运动规律的，而可见的天不过是那数学天空的不完美的表现形式。按：柏拉图思想的荒谬在自然科学家看来一目了然，却有人声称西方哲学史就是对柏拉图思想注解的历史。

柏拉图认为存在一个由形式和观念组成的、客观而普遍可靠的实在世界，我们是通过前世回忆而体会到这些概念的。按：跟王阳明的“致良知”是一个路数。罗素在《西方哲学史》中反驳这种谬论说：“让我们考虑一下用显微镜所做出的任何一种发见吧；比如说细菌传播疾病，我们很难认为，这种知识是可以用问答的方法就能够从一个本来对此一无所知的人那儿推引出来的。”

亚里士多德认为物质是由四种基本元素——土、水、火、气组成的。每种元素又有其自身的特征性质。土是冷而干的；水是冷而湿的；气是热而湿的；火是热而干的。因此任一物件的性质取决于所含元素的比例；由此就决定了它的固体性、硬度、粗糙性以及其他品质。若要把水银变为硬的黄金就意味着需要从水银里去掉具有流动性的物质而代之以其他物质。按：跟中国的五行学说是不是很像？都可以作为炼金术的理论基础。

亚里士多德认为目的有四类。第一类是物质的或内在的原因。对一个黄铜塑像来说，黄铜是内在原因。第二类是形式原因。对数学来说，这就是它的设计和形状。谐音的形式原因是八音度里的2比1的格局。第三类是作用原因，是起作用的东西或人。艺术家和他的凿子是塑像的作用原因。第四类是终因，或现象所服务的目的。塑像是用来悦人心意、提供美感的。终因是四类原因中最重要的，因为它给出事件或现象的终极理由。每件东西都有一终因。按：罗素在《西方哲学史》中把这四种原因称为质料因、形式因、动力因和目的因。目的因在人类文明的幼年期曾被抬高到至高无上的地位，在科学兴起后又被彻底否认。随着科学的进一步发展，有人提议可以考虑部分地恢复目的因的使用。

数学至多只能提供形式原因方面的一些知识，就是说只能提供一种描述。它能描述物理世界中所发生的事，能把同时发生的变异联系起来，但对运动或变化的作用原因和终因却不能置一辞。所以亚里士多德是把数学和物理严格区别开的，并给予数学以次要的地位。按：亚里士多德的这个观点完全符合现代科学的理解，而且比下述的天真观点超前得多。

因为希腊哲学家相信心智是掌握自然的最有力的因素，所以他们把心智所欣赏的原理作为第一原理。匀速的圆周运动似乎是适合于天体的运动。至于世俗物体之所以异于行星、太阳和恒星也是有理可说的，因为天体外貌保持不变而地上事物变化明显。心智能产生第一性原理的这种信念到17世纪终于被推翻了。按：人类在这个变动无常的世界上寻找不变的心理需求非常强烈，这可以用来理解柏拉图的哲学和各种宗教。由此可以看出，行星轨道不是圆而是椭圆的发现对开普勒时代人的心理冲击多么巨大，而牛顿的发现天上和地下都遵循相同的运动规律更具有永远令人震惊的力量。