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《古今数学思想》读书笔记（20）
(2015-08-06 20:17:06)
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杂谈 |
《古今数学思想》读书笔记（20）
作者：@中科大胡不归
【作者按：《古今数学思想》，莫里斯·克莱因著，张理京等译，上海科学技术出版社，2014年1月第一版。上一篇见http://weibo.com/p/1001603872815559631225。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我发布的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五
第6章：亚历山大时期：算术和代数的复兴。本篇记录此章的第2节。
2、算术和代数作为一门独立学科的发展
赫伦、尼科马修斯（Nichomachus，约公元100年）[他可能是来自犹太格拉撒（Gerasa in Judea）的阿拉伯人]和亚历山大的希腊人丢番图（约公元250年）把算术和代数问题本身作为问题来处理，既不依靠几何引出，也不用它来作逻辑依据。
赫伦在《几何》一书中提到加一块面积、一个周长和一个直径。他用这些话所表达的意思当然是指要加上它们的数值。例如给定一个正方形，知其面积与周长之和为896尺，求其一边。
尼科马修斯撰写了包含两篇的《算术入门》（Introductio Arithmetica）一书，这是第一本篇幅颇为可观的完全脱离几何讲法的算术（意即数论）书。从历史意义上讲，它对于算术的重要性可以和欧几里得的《原本》对于几何的重要性相比。按：Duang！《九章算术》隆重出场！《九章算术》最大的缺点是没有公理体系，但希腊的这些算术书籍也没有，那么《九章算术》以出现早和内容深广全面胜出！
尼科马修斯是个毕达哥拉斯派，他只论述整数和整数的比。在柏拉图所强调指出的四门学科——算术、几何、音乐和天文中，尼科马修斯说算术是其他各科之母。他说没有算术别的科学就不能存在，而若其他科学被取消，算术却仍能存在。
《算术入门》的主要内容是早期毕达哥拉斯派在算术方面的工作，尼科马修斯讲述了偶数、奇数、正方形数、矩形数和多角形数。他也论述了质数和复合数以及六面体数[形式为n^2 (n 1)的数]，此外又定义了别的许多种数。他给出了1到9的乘法表，和今日学习的九九表一模一样。按：乘法表是一项重要的贡献，不过在这一点上又是中国领先。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战国策》等书中就能找到“三九二十七”、“六八四十八”、“四八三十二”、“六六三十六”等句子。
他又给出埃拉托斯特尼筛，这是较快得出质数的方法。先把3以后的奇数写下来，然后划掉3的倍数，其次去掉5的倍数，然后去掉7的倍数等等。把2同那些没有划掉的数在一起，这些数就是质数。
尼科马修斯用举例来说明和解释他提出的定理，不用演绎证明。按：在学过《几何原本》之后，为什么还不用演绎证明？这个问题发人深思。
《算术入门》在此后1000年间成为一本标准课本。自尼科马修斯之后，算术而不是几何成为风行于亚历山大时期的学问。
用代数技巧解问题的书也问世了。有些问题正是公元前2000年巴比伦书本里或莱因德草片纸上所载的。自尼科马修斯之后，人们拿那些导出方程的代数题作为一般消遣的难题。这种题目约有50到60个保留在10世纪的一本书里（Palatine Codex ofGreek Epigrams）。这里面至少有30题被认为是梅特罗多鲁斯（Metrodorus，约公元500年）所提出的，但肯定以前就有：阿基米德牛群问题，欧几里得提出的关于骡子和驴驮运粮食的问题，求桶里注满水所需时间的问题，我们代数课本里的那种年龄问题。
亚历山大时期的希腊代数到丢番图时臻于最高点。他的著作远远超出他的同时代人，但可惜出来得太晚而不能对他那个时代起太大影响，因为一股吞噬文明的毁灭性浪潮正在掀起。按：蛮族和宗教！现在还经常有人说蛮族入侵是注入新鲜血液，宗教是道德的基础。这得脑残到什么程度！
丢番图写过几本现已全部失传的书。他的《论多角数》（On Polygonal Numbers）有部分内容为今人所知，其中他按《原本》第七、八、九篇的演绎方式给出定理并予以证明，但那些定理中没有什么了不起的东西。他的一部巨著是《算术》（Arithmetica），据他自己说共十三篇。现尚存六篇，得自13世纪希腊手抄稿和其后的一些译本。
《算术》也是个别问题的汇集。作者在题词中说这是为帮助学生学习这门课而写的一些练习题。丢番图作出的一步重大的进展是在代数中采用一套符号。他使用三次以上的高次乘幂更是件了不起的事。古典希腊数学家不能也不愿考虑含三个以上因子的乘积，因为这种乘积没有几何意义。但在纯算术中，这种乘积却确有其意义；这正是丢番图所采取的观点。后人把丢番图的代数称作缩写代数，而把埃及、巴比伦、赫伦和尼科马修斯的代数称作文字叙述代数。按：从此代数摆脱了几何的束缚，直到解析几何出现，两者的重要程度完全易位。
《算术》第一篇的内容主要是那些引出确定的一元或多元一次方程的问题。其余五篇的内容主要是二次不定方程。
丢番图代数的最突出之点是他对不定方程的解法。这门代数如今就称作丢番图分析。举下面几个例子：
第一篇，问题8，把一给定平方数分成两个平方数。
他取16作为给定的平方数，得出256 /25和144 /25。这个问题经费马（Pierre de Fermat）加以推广，使他提出x^m y^m = z^m当m > 2时就无解。按：费马大定理！
第二篇，问题9，已给一数为两个平方数之和，把它分为另外两个平方数之和。
他取13 = 4 9作为所给的数，得出结果是324 /25及1 /25。
第三篇，问题6，求三个数，使它们的和以及它们之中任两数的和都是平方数。
丢番图给出80、320和41。
第四篇，问题1，把一给定的数分为两个立方数，并使其每边之和为给定的数。
他以370为给定的数，以10为给定的两边之和，得出343及27。所谓边是指立方数的立方根。
第四篇，问题29，把一给定的数表示为四个平方数与其各边之和。
以12为给定的数，他得出四平方数为121 /100、49 /100、361 /100和169 /100。它们的边是每个平方数的平方根。
第六篇，问题1，求一（有理边）直角三角形，使斜边减去每直角边后得出一立方数。
他凑巧得出整数解40、96和104。
丢番图只接受正有理根而忽略所有其他根。甚至当二次方程有两正根时，他也只给出较大的一个。当一个方程在求解过程中明显看出要有两个负根或虚根时，他就放弃这个方程，说它是不可解的。在出现无理根的情况下，他就倒算回去，指出怎样改变一下方程，就能使新方程具有有理根。这方面丢番图和阿基米德以及赫伦不同。赫伦是个测绘人员，他接受无理数，但为得出有用的数值便取近似值。阿基米德当解是无理数时就用不等式来限定它的范围。按：中国数学早就接受负数，对无理数也从未排斥（当然也根本没考虑过）。
丢番图没有一般性的方法。《算术》里的189个问题每个都用不同的方法解。他的问题共有50多种类型，但他没有试图进行分类。
丢番图解个别问题所用方法之多使人目不暇接，但未能击节叹赏。他是个巧妙而聪明的解题能手，但显然不够深刻，未能看出他所用方法的实质而加以概括。（现今的丢番图分析仍然是由个别孤立问题组成的一团乱麻。）他只有很少数的结果可说是具有一般性的意义——如形式为4n 3的质数不能表为两平方数之和。不过整个说来他的工作在代数上是永垂不朽的。按：这样的研究者在科学史上属于第二流，但绝大多数的研究者只是不入流……
今日数学里非常重要的一件事却在希腊代数里遗漏了，这就是用字母来代表一类数，例如方程中的系数。亚里士多德、欧几里得、帕普斯等人都没有认识到字母表示法在增进代数方法的功效与其普遍性方面作用是何等巨大。
亚历山大时期代数的另一特色是缺乏任何明晰的演绎结构，也没有什么一套公理来建立演绎结构。由于古典希腊学者所做的工作，使人觉得数学结果好像都是依据一组明文规定的公理用演绎法推出来似的，因此出现独立的一门算术和代数而竟无其自身的逻辑结构这种情况，就成为数学史上的一大问题。虽然亚历山大的希腊代数学家是一点不在乎这一缺陷，但以后可以看到这确使欧洲数学家深感不安。按：这个问题确实令人十分好奇。不用说，又是伪史论的证据……
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