巧借平行切线，破解最值难题

在圆锥曲线与直线的动态关系中，寻求距离最值是高职考的重要考点，也是学生解题的难点。2025年5月21日李逸群老师执教的《直线与圆锥曲线》公开课，聚焦“切线法求最值”这一核心方法，以清晰的逻辑和务实的风格，为我们呈现了一堂高效实用的解题策略课。

一、课堂亮点：聚焦核心，方法落地

李老师的课堂摒弃繁复理论，直击“最值求解”这一痛点，提炼出普适性解题路径：

1.问题导向，目标明确

开篇以典型问题切入：

问题1（圆）： 求圆上点到定直线距离的最值。

问题2（抛物线）： 求抛物线上动点到定直线距离的最小值及对应点坐标。

问题3（椭圆）： 强调需先判断直线与椭圆位置关系（相离、相切、相交），再求最值。

明确的学习目标使学生迅速聚焦核心任务。

2.提炼精髓——“切线为桥”

李老师精准提炼核心思想：“以切线为桥，化动态为平行”。这形象地概括了方法的本质：

“桥”：平行于定直线的切线是关键桥梁。

“化动态为平行”：将动点问题转化为寻找特定平行线（切线）间的距离问题。

3.步骤清晰，可操作性强：

课堂精华在于将“切线法”提炼为三步标准化流程，便于学生掌握运用：

步骤一：设平行切线

写出与已知定直线 平行 的切线方程（设斜率为k，或根据曲线类型设标准形式）。

步骤二：联立求切线

将所设切线方程与圆锥曲线方程联立，消元后令判别式 Δ=0，解出切线方程（或切线斜率）。

步骤三：算距定最值

计算所求得的平行切线与原定直线之间的距离，此距离即为所求最值（最大值或最小值）。同时，切点即为取得最值的点。

二、核心策略：方法普适，注意差异

李老师不仅传授通用方法，更强调不同曲线应用时的关键点：

1.通用核心：平行切线转化

无论是圆、抛物线还是椭圆，利用平行于目标直线的切线来转化动态距离问题，是方法的通用核心。步骤一、二、三具有普适性。

2.差异要点：位置关系先行（尤其椭圆）

课堂特别强调椭圆问题的特殊性：必须预先判断目标直线与椭圆的位置关系（相离、相切、相交）。这直接决定了最值的存在性、个数以及计算方式（如相离时才有最大最小值，相切时最值点即切点等）。这是区别于圆和抛物线的关键注意点。

3.几何直观辅助理解

配合PPT图示，清晰展示当动点移动到平行切线的切点位置时，该点到定直线的距离取得最值的几何事实，增强学生空间想象能力。

三、教学启示：务实高效，讲练相融

李老师的课堂展现了鲜明的“解题课”特色，提供宝贵教研启示：

1.方法精炼，直击考点： 紧扣高职考高频题型（距离最值），提炼“三步切线法”，步骤清晰，操作性强，是学生考场上的“利器”。

2.流程规范，注重细节： 从引入问题到方法总结，逻辑链条清晰。强调关键步骤（如Δ=0）和易错点（如椭圆位置关系判断），体现严谨性。

3.讲练结合，即时巩固： 理论讲解后设有“小试牛刀”环节，让学生当堂应用三步法解决类似问题，促进方法内化，符合技能习得规律。

4.务实作风，贯穿始终： 从细致的课前准备要求（通风、用具、卫生、考勤），到课堂内容聚焦核心、不蔓不枝，体现李老师扎实的教学作风。

结语

李逸群老师的《直线与圆锥曲线》公开课，是一堂目标清晰、方法实用、步骤规范的解题示范课。其提炼的“三步切线法”将复杂的动态最值问题，巧妙地通过构造平行切线转化为可计算的平行线距离问题，展现了“化动为静，化曲为直”的数学智慧。课堂强调的“位置关系先行”（尤其椭圆）和严谨的判别式应用，为学生规避了常见错误。这堂课不仅有效提升了学生解决特定题型的能力，其提炼标准化解题流程的思路，也为我们在日常解题教学中提供了可借鉴的范式。

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