点差为刃，巧解中点弦

圆锥曲线中的“中点弦”问题，是高职考中兼具难度与区分度的经典题型。2025年5月21日郑秀骄老师执教的《圆锥曲线的中点弦问题》公开课，以“点差法”为核心武器，通过结构化步骤与阶梯式变式训练，呈现了一堂逻辑严谨、思维缜密的代数方法示范课。

一、课堂亮点：五字为纲，点差破题

郑老师以 “温·行·结·探·启” 五字教学法串联课堂，将抽象的代数运算转化为可操作的思维路径。

1.“点差法”六步程序化操作，课堂提炼出普适性解题框架，直击中点弦问题核心：

步骤一：设点

设弦端点坐标 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)，代入曲线方程（双点落地）。

步骤二：代入

将两点坐标分别代入圆锥曲线方程（建立代数基础）。

步骤三：作差

两式相减，巧用平方差公式分解（核心技巧，化二次为一次）。

步骤四：中点代换

引入中点坐标 (x₀,y₀)，替换 x₁+x₂=2x₀, y₁+y₂=2y₀（关键转化）。

步骤五：斜率显形

利用 k=(y₁-y₂)/(x₁-x₂)，构建斜率与中点关系（几何代数交汇点）。

步骤六：求解应用

解出斜率、直线方程或参数（如离心率），完成问题闭环。

2.变式阶梯训练，深化思维

精选三类变式，覆盖中点弦核心考法：

变式1（双曲线）：已知中点 A(2,1)，反向求弦所在直线方程（基础应用）。

例2（抛物线）：结合焦点性质，求中点弦斜率（综合提升）。

变式2（椭圆）：由定点弦方程反求离心率（逆向思维，直指参数本质）。

二、核心策略：设而不求，代数为桥

郑老师紧扣中点弦问题的本质矛盾，凸显两大策略：

“设而不求”的运算智慧

通过设点、作差、代换，巧妙回避直接解点的坐标，极大简化计算（如例2中利用 y+y=-2 直接求斜率 k=-1），体现“代数运算的舞蹈美”。

中点坐标的核心枢纽作用，强调 步骤四（中点代换） 是化繁为简的关键，将二次曲线方程差转化为一次线性关系，直接关联弦的斜率与中点坐标，架起几何与代数的桥梁。

三、教学巧思：考情为锚，素养落地

课堂设计处处体现务实与深度：

1.精准定位考情痛点

开篇展示省模考“中点弦”题型平均分仅 5.12分，直指学生薄弱环节，强化学习必要性。

2.“3+2选拨考总复习”导向

紧扣高职考复习需求，选题覆盖双曲线、抛物线、椭圆三大曲线，兼顾基础与拔高（如离心率求解）。

3.严谨的数学书写规范

板书完整呈现点差法步骤（如巩固训练部分），强调逻辑链的严密性，培养学生规范表达能力。

4.“7S管理”贯穿课堂

从课前用具准备、卫生整理，到课后“整理整顿清扫清洁”，细节处培养学生的学习习惯与职业素养。

四、教研启示：程序赋能，逆向突破

1.方法程序化赋能学生

点差法六步可复制、可迁移，为中等生提供解题“脚手架”，降低思维负荷。

2.逆向问题设计提思维深度

变式2（由弦方程反求离心率）打破正向思维定式，深化对参数几何意义的理解。

3.代数运算与几何直观并重

在强调代数推导的同时，可辅以动态几何演示，直观展示中点弦变化规律（如弦平行、过定点特性）。

结语

郑秀骄老师的《中点弦问题》公开课，是一堂将代数方法锤炼到极致的精品课。其提炼的 “点差法六步” 如同精密的手术刀，精准剖开中点弦问题的复杂表象，展现出“设而不求，以简驭繁”的数学智慧。课堂中考情定位的精准性、变式设计的层次性以及教学管理的严谨性，不仅直击高职考解题痛点，更诠释了“素养落地”的深刻内涵。这堂课启示我们：在圆锥曲线教学中，精妙的代数方法训练与结构化思维培养，始终是突破难点的重要路径。

附：点差法六步口诀

双点代入曲线中，作差巧用平方攻；

中点代换化一次，斜率关系即贯通；

设而不求运算简，几何代数一桥通！