以形驭数，以数解形

在数学的深邃海洋中，“数”与“形”如同双生子，相互依存、相互转化。2025年5月31日，余梦怡老师近期执教的公开课《数形结合在圆锥曲线中的部分应用》，以高职考为背景，深度挖掘数形结合思想在圆锥曲线问题中的核心价值，为我们呈现了一堂逻辑清晰、思维缜密的示范课。

一、课堂亮点：双向思维，精准突破

（一）余老师的课堂紧扣“数形结合”的双向路径，构建了完整的解题框架：

1.“以数定形”：方程 → 图形（理性推导）

2.简化方程：通过代数变形明确方程本质。

3.洞察几何含义：紧扣圆锥曲线定义（距离定义）。

4.关键参数判据：结合参数大小关系（如 a, c）精确判定曲线类型。

5.结论可视化：最终确定图形（椭圆、线段、双曲线、射线、圆、半圆等）。

（二）典型例题与亮点：

例1和练习1： 基于椭圆/双曲线的距离定义 (|MF₁| ± |MF₂| = 2a)，结合焦距 2c，通过 a 与 c 的大小关系，精准区分椭圆、线段、空集、双曲线、射线。练习1选项设计巧妙（双曲线左支/右支/整体），深化对定义的理解。

练习2和变式1： 聚焦圆的方程 (x² + y² = r²)。通过分析方程隐含的约束条件（如 y ≥ 0），引导学生识别“半圆”这一易错点，体现“以数定形”中“判断参数大小”与“确定图形细节”的重要性。变式1则通过方程形式变化，自然过渡到抛物线定义，逻辑流畅。

亮点：

1.“以形助数”：图形 → 代数（直观洞察）

2.代数翻译几何：理解目标代数式的几何意义（如距离、斜率、范围）。

3.精准作图定位：画出相关曲线及可行区域。

4.锁定约束边界：识别影响目标的关键边界（曲线本身、定义域、特殊点、切线）。

5.计算临界数值：求解边界点或相切点等关键位置的值。

6.界定代数范围：综合图形分析得出目标代数量的取值范围。

练习4：

求曲线 C: f(x, y) = 0 上点 P 满足条件 g(P) = t 时 t 的范围。余老师引导学生：

1.理解 t = g(P) 的几何意义（如 P 到某直线的距离）。

2.画出曲线 C 的图形。

3.分析点 P 在 C 上移动时 t 的变化。

4.确定 t 取得最值的临界点（端点、边界点、切点）。

5.计算临界点处的 t 值，最终确定 t 的范围。强调“取特殊值定范围”的辅助验证技巧。

二、核心策略：定义为本，化繁为简

余老师整堂课贯穿两大核心策略，直击高职考重点：

紧扣定义，回归本源：

无论是判定曲线类型（题型一），还是分析约束范围（题型二），都牢牢抓住圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线、圆）的距离定义或标准方程定义。这使学生解题有“根”可循，避免死记硬背。

方程化简，显露真容：

在“以数定形”环节，反复强调“化简方程”是洞悉图形本质的前提。复杂的方程经过恰当变形（如配方、移项、约束条件显化），其代表的几何图形往往一目了然（如练习2、变式1）。

三、教研启示：思想引领，能力落地

余老师的公开课，为我们落实核心素养教学提供了宝贵经验：

1.思想为魂： 将“数形结合”不仅作为解题工具，更升华为贯穿始终的数学思想进行渗透，培养学生双向思维的习惯。

2.结构清晰： 课堂模块分明（思想阐述→题型一精讲→题型二精讲→总结升华），逻辑链条完整，符合学生认知规律。

3.选题精准： 例题、练习、变式均围绕高职考高频考点，难度梯度合理，覆盖核心题型（曲线判定、线性规划求范围），且具有典型性和启发性（如半圆的识别）。

4.讲练结合： 理论讲解后紧跟针对性练习，及时巩固，确保学生思维有效参与和能力迁移。

结语

余梦怡老师这节《数形结合在圆锥曲线中的部分应用》公开课，是一次对数学核心思想“数形结合”的生动诠释和有效实践。它清晰地展示了如何通过“以数定形”实现严谨推理，又如何通过“以形助数”获得直观洞察，最终在圆锥曲线这一重要领域中融会贯通。这堂课不仅为高三学子备战高职考提供了锐利的解题武器，更启发我们在日常教学中，应不断深化对数学思想方法的挖掘与运用，引导学生感悟数学的理性之美与灵动之趣。

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