长方体和正方体单元教材解读

各位老师：大家好，下面我对教材中长方体和正方体这一单元谈一些浅显的认识，水平有限，如有不妥之处，希望大家批评指正。

一、       本单元的内容及地位和作用。

长方体和正方体单元属于空间与图形，也涉及到用数学解决问题的内容。学生在第一学段已经初步认识了一些简单的立体图形，已经能够识别出长方体、正方体、圆柱和球，本单元在此基础上系统教学长方体和正方体的有关知识。长方体和正方体是最基本的立体图形。通过学习长方体和正方体，可以使学生对自己周围的空间和空间中的物体形成初步的空间观念，是进一步学习其他立体几何图形的基础。另外，长方体和正方体体积的计算，也是学生形成体积的概念、掌握体积的计量单位和计算各种几何形体体积的基础。

二、       本单元的教学目标及重难点

教学目标

1．通过观察和操作，认识长方体和正方体的特征以及它们的展开图。

2．通过实例，了解体积（包括容积）的意义及度量单位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升），会进行单位之间的换算，感受1m3、1dm3、1cm3以及1L、1ml的实际意义。

3．结合具体情境，探索并掌握长方体和正方体的体积和表面积的计算方法，并能运用所学知识解决一些简单的实际问题。

4．探索某些实物体积的测量方法。

教学重点

（1）通过观察和操作，认识长方体和正方体的特征。

（2）探索并掌握长方体和正方体的表面积和体积的计算方法。

（3）能运用所学知识解决一些简单的实际问题。

教学难点

（1）表面积和体积概念的建立。

（2）体积和容积的区别。

（3）灵活运用所学知识解决实际问题。

三、对本单元的内容进行具体分析

 第一部分：长方体和正方体的认识

1、主题图

教材首先呈现出一幅主题图，主题图中给学生提供了一些长方体或正方体形状的建筑物和生活用品，目的是让学生通过观察这些实物的形状，从中抽象出长方体和正方体的图形，同时让学生感受到生活中的很多物品的形状都是长方体和正方体的，也为进一步研究长方体、正方体的特征做好准备。

2、认识长方体，其中包括例1、例2两个例题。

例1研究长方体的特征

教材首先给出长方体面、棱、顶点的概念，然后通过例1研究长方体的特征，教材中展示了小组同学对长方体物品进行观察操作、填表交流、讨论总结，逐步概括出长方体特征的学习过程，突出了学生自主探索、合作交流的学习方式。

教学时，可以让学生拿一个长方体的物品观察长方体的面、棱和顶点，学生看一看、数一数，逐步抽象概括出长方体的特征，并以小组的形式按照教材的表格完成观察的记录。指出长方体是由6个长方形围成的立体图形（特殊情况有两个相对的面是正方形），其中相对的面完全相同，相对的棱长度相等。

例2研究长方体棱的特点

教材展示了学生小组合作用橡皮泥和细木条制作一个长方体框架，探索长方体12条棱之间的关系，意图在于让学生进一步进行抽象概括，从而引出长方体的长、宽、高的概念。教材这样安排不仅突出了合作学习的学习方式，而且注重培养学生的动手操作能力，以及在交流过程中的语言表达能力。

教学时，可以让学生以小组为单位做一个长方体框架。并引导学生观察，一个长方体中的12条棱可以怎样分组，每一组棱的长度有什么关系。然后再引导学生观察，长方体中相交于一个顶点的棱有几条，这几条棱的长度怎样？相交于其他顶点的棱各有几条，它们的长度怎样？由于有三组互相平行的棱，每组棱的长度相等，所以可以取相交于一个顶点的3条棱作代表，把相交于一个顶点的3条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高，说明长方体的形状和大小是由它的长、宽、高决定的。知道了一个长方体的长、宽、高，就可以知道这个长方体是什么样子。为了帮助学生正确理解长方体的长、宽、高，可以让学生把长方体横放、竖放、再侧放，根据长方体摆放的不同情况，让学生说出它的长、宽、高。这样既可以防止学生死记硬背什么叫做长、宽、高，又可以发展学生的空间观念。

例2后面安排了“做一做”，目的是让学生加深对长方体特征的认识，同时为以后学习表面积做准备。教学时，可让学生用教材后的附页制作长方体模型，用模型帮助学生加深理解。

3、认识正方体，并把长方体和正方体进行比较。

教材安排了让学生观察正方体物品，抽象概括出正方体的特征，指出正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。在此基础上，比较长方体和正方体的相同点和不同点，说明正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体，并用集合图表示它们的关系。

教学正方体的认识时，可以参照长方体的教学，由观察实物开始，逐步抽象概括出正方体的特征。最后应注意向学生说明，由于正方体所有的棱的长度都相等，所以它的长、宽、高都叫做棱。

  教学长方体和正方体的比较时，可以按照面、棱、顶点的次序，引导学生找出它们的相同点和不同点。教学时，可以由学生讨论，教师整理的形式形成表格，并利用集合图说明长方体和正方体的关系。

4、对练习五中的练习题进行分析。

练习五1、3、4、6、7题可在认识了长方体之后完成，第2、5、8、9题可在认识了正方体后完成。

第1题，让学生观察长方体纸巾盒，说出各个面的形状，哪些面的形状是相同的？各面的长和宽各是多少?这有利于加深学生对长方体特征的认识，使学生在练习中逐步理解长方体各面的长和宽与长方体的长、宽、高之间的关系。

第2题，让学生观察粉笔盒的形状，说说每条棱的长度是多少，以及各个面有什么特点，巩固学生对正方体特征的认识。

第3题，让学生先量一量数学书的长、宽、高各是多少，然后再根据量得的长、宽、高，说一说数学书每一个面的长和宽各是多少，这样就把长方体的长、宽、高与长方体各面的长和宽联系起来，既加深学生对长方体特征的认识，发展空间观念，又为后面学习计算长方体的表面积做了准备。

第4题，是一个长方体框架直观图，让学生通过观察，发现长方体棱之间的关系。如，各组棱相互平行；与其中一条棱垂直的几条棱相互平行等，以加深对长方体的认识。教学时，可以借助长方体框架进行观察，教师在黑板上用不同颜色的粉笔以示区分，最好是用课件演示，更加清晰。

第6、7题，是应用新知解决问题的题目。可以先讲解第7题，再讲解第6题。第7题求角铁的长度就是计算长方体柜台12条棱长之和，由于长、宽、高单位不同，要注意单位的统一。学生列式中可能会出现不同方法，教师要引导学生用较简便的方法列式计算。第6题，长方体形体的俱乐部下面四边不装彩灯，为了方便学生进行观察分析，可以先让学生根据题意在图上标出长、宽、高的长度。预计会出现两种思路：①从棱长总和里减去不装的2长2宽的长度，②算出需要安装彩灯的棱长之和，即2长2宽4高之和。我个人认为后一种方法较为优化。

第8题，多少个棱长1 cm小正方体可以拼成一个稍大一些的正方体。由于学生的空间观念和空间想象力还处在潜意识当中，可以先让学生想像一下，学生可能会想到需要4个小正方体，有的学生会误以为是4块。对于学生的答案不要急于否定，要让学生们动手摆一摆找到正确答案。

第9题，留给学有余力的学生完成，如果学生无法直观判断，可以借助正方体实物进行判断。

此外，老师还可补充长方体或正方体礼品盒捆扎彩带的练习，通过不同的捆扎方法，进一步培养学生的看图能力和解决实际问题的能力。

第二部分：长方体和正方体的表面积。

1、              揭示“表面积”的定义。

为了使学生更好地建立表面积的概念，教材加强了独立探索、动手操作，让每个学生拿一个长方体或正方体纸盒，沿着棱剪开，再展开。然后，让学生在展开后的图形中，分别用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”标明6个面。使学生把展开后每个面与展开前这个面的位置联系起来，更清楚地看出长方体相对的面的面积相等，每个面的长和宽与长方体的长、宽、高之间的关系，为下面学习计算长方体的表面积做好准备。

教学时，应让学生每人准备一个长方体纸盒，沿着棱剪开，再展开，然后再认真观察，注重学生动手操作能力和观察能力的培养。

2、表面积的计算。包括例1和例2两个例题，例1是计算长方体的表面积，例2是计算正方体的表面积。两个例题中要解决的问题都来源于实际，贴近学生的生活。

例1安排了长方体表面积的计算方法。教材先引导学生明确，要知道至少用多少平方米的硬纸板，实际上就是求这个长方体包装箱的表面积，再根据所给出的微波炉包装箱的长、宽、高，确定每个面的长和宽各是多少，想出每个面的面积应该怎样算。然后，再列出计算表面积的式子，让学生计算。为了培养学生能够根据具体条件和要求，确定不同的面的面积怎样算，教材中没有总结长方体表面积的计算公式，体现解决问题策略的多样性和开放性。但在策略多样的同时，千万不可忽视策略的优化，所以在教学中要引导学生用较为简便的方法列式计算。

例2安排了正方体表面积的计算方法。因为有例1作为基础，所以教材中只出示了例2，并鼓励学生自己根据正方体的特征试着计算正方体的表面积。

教学时，先让学生观察正方体6个面有什么关系，再思考每个面的面积怎样算。然后，让学生自己列出算式计算。学生列出算式后，还可以让学生说一说这个算式的第一步算出的是什么，第二步算出的是什么，以加深学生的理解。

实际生活中，经常遇到不需要算出长方体6个面的总面积的情况，需要根据具体情况考虑应该计算哪几个面的面积。教材通过34页和35页的“做一做”加以说明，并且在练习中页适当加强了这方面的练习。

3、           对练习六中的练习题进行具体分析。

由于根据长方体的长、宽、高来确定各个长方形面的长和宽，对小学生来说是个难点。教材在练习六中采用分步走的方法，逐步使学生掌握。第1题，先练习求一个指定面的面积，后面的题再加大难度，这样安排符合学生的认知规律。

第2题，判断哪些展开图可以折成正方体，目的是培养学生的空间想像力，加深对正方体的认识。教师可以给一些方法上的指导。如，让学生先确定一个面做下底面，写上“下”，然后想像折叠的过程，折叠一面确定出它是哪面，就在此面标上相应的文字，如确定是右面，就在此面标上“右”。最后如果能不重不漏的在六个面上分别标上“上”、“下”“前”“后”“左”“右”，那么这个展示图就能折成正方体，否则就不能。其中只有第4个图不能折成正方体。如果想像判断有困难，可以让学生在纸上画出这些展开图，再剪下来，动手折一折。

练习六中的习题安排不仅有层次性，而且涉及到生活中的许多实际问题，所以也具有一定的实用性，其中3---8题出题非常巧妙，不是学生死记表面积的计算方法就能解决的，需要根据实际情况，确定计算哪几个面的总面积。通过这些题既可以巩固表面积的概念和计算方法，又可以培养学生具体问题具体分析的能力。第6题，除了计算做一个洗衣机机套至少需要多少布外，还要计算做1000个至少需要多少布。计算完后，要提醒学生计算结果换算成平方米。第8题，在确定粉刷教室的哪些面时，如果学生不明确，可以引导学生观察本班教室，看哪些地方需要粉刷，哪些地方不需要粉刷。

第9题，是计算组合图形的表面积问题。注意提示学生：两个图形重叠部分的面积不能算在表面积里。

第10*题，把一个长方体从中间截断，分成两个正方体，让学生分别计算出长方体和两个正方体的表面积，再比较它们的表面积，看有什么变化。通过比较，学生会了解到： 截完后，增加了两个截面，所以2个正方体的表面积和大于原来的长方体。

第11*题，主要是考察学生的观察能力和空间想象能力。 ① 没有涂到颜色的小正方体只有中间层的中间的1个；② 一面涂色的小正方体共有6个，即大正方体6个面上最中间的小正方体； ③ 两面涂色的小正方体有12个；④ 三面涂色的小正方体比较好找，就是大正方体8个角上的小正方体，共有8个。

第三部分：长方体和正方体的体积

这一节包括五部分内容：1、体积和体积单位。2、体积计算公式。3、体积单位间的进率。4、容积和容积单位。5、不规则物体的体积。

1、           体积和体积单位。

体积对学生来说是一个新概念。由认识平面图形到认识立体图形，是学生空间观念的一次发展。因此，教材加强了对体积概念的认识。教材通过学生更熟悉、更直观的“乌鸦喝水”的故事、石头放入盛水的杯子里的实验等，以生动形象的方式，为学生体会物体占有空间，理解体积概念提供丰富的感性经验。然后，引导学生观察比较电视机、影碟机和手机的大小，说明不同的物体所占空间的大小不同，从而引入体积概念。

教学时，可以先让学生回忆并讲述学过的“乌鸦喝水”的故事，提问：水面为什么上升了？引导学生说出石子占有一定的空间。也可以做教材上面的一个实验，让学生思考：“为什么第二个杯子装不下这些水？”使学生明确石头占有一定的空间。引导学生感受空间的大小，引入体积。

体积单位教材是通过迁移类推引出来的。教材呈现两个不易看出大小的长方体，通过提出问题“怎样比较这两个长方体体积的大小呢？”启发学生通过回顾旧知、迁移类推出：要比较长方体的体积大小也需要用统一的体积单位来测量。接着教材指出计量物体的体积要用体积单位，给出常用的体积单位，并让学生观察相应的教具和模型，对这些体积单位的实际大小形成明确的表象。

教学时，可以先让学生回忆一下，计量物体的长度和面积时，为什么要用统一的长度单位和面积单位。然后给出书上的两个长方体，让学生判断一下它们的体积大小，由于无法直接判断，学生自然会由前面的知识想到，计量物体的体积要用统一的体积单位。借助正方体实物认识1 cm³和1 dm³时，初步建立这两个体积单位的表象。然后找出一些体积接近于它们的物体，如一颗蚕豆、手指尖的部分；一个粉笔盒，帮助学生形成1 cm³和1 dm³的表象。

在“做一做”中，教材安排了区别长度单位、面积单位和体积单位的练习。认识用1cm3的小正方体拼成的各种图形的体积是多少，以加深学生对体积单位和怎样用体积单位计量物体的体积的认识，为下面教学计算长方体和正方体的体积做准备。

2、体积计算公式。包括长方体体积的计算公式和正方体体积的计算公式。其间安排两个例题，例1是计算长方体的体积。例2是计算正方体的体积。

教材先教学长方体体积计算公式的推导，再通过例1计算长方体的体积。

长方体体积计算公式，教材通过让学生动手操作，自主探索出来的。教材先提出 “怎样知道一个长方体的体积是多少呢？”让学生小组合作进行讨论，学生可能会想到把长方体切成小正方体，它有多少个小正方体。但受客观条件的限制，有些物体是不能切割的，由此想到长方形的面积有计算公式，长方体的体积也应该有计算公式，由此调动起学生实验、探究的动机和愿望。

教材让学生用体积为1cm3的小正方体摆成不同的长方体，通过对摆法不同的长方体相关数据的分析，引导学生找出长方体中所含体积单位的数量与它的长、宽、高之间的关系，从而总结出长方体体积的计算公式，并用字母表示出来。

接着，教材安排了例1，计算长方体的体积，以巩固长方体的体积计算公式。

教学计算长方体的体积时，可以安排实验。让学生用体积1 cm³的小正方体摆成不同的长方体，并把摆成的不同形状的长方体的长、宽、高等数据填入表格中，算出每一种摆法用的小正方体总数。在独立思考的基础上，让学生在小组内进行充分的交流，看这个长方体所含小正方体的个数，与它的长、宽、高有什么关系。最后，让学生通过观察、归纳、推理，总结出长方体体积的计算公式，并用字母表示。

正方体的体积计算与长方体的体积计算编排类似，教材先教学正方体体积计算公式，再通过例2计算正方体的体积。

正方体的体积公式，教材是通过启发学生根据长方体和正方体的关系，推导出来的。在用字母表示正方体的公式时，教材介绍了“立方”的含义，说明三个相同的数连乘就是这个数的立方。之后，安排例2计算正方体的体积。

教学正方体体积的计算时，可以启发学生根据正方体与长方体的关系，联系长方体体积的计算公式，想一想正方体的体积应该怎样计算。引导学生自己推导出正方体的体积公式：V＝a·a·a。这时告诉学生三个a连乘可以写作a³，读作“a的立方”。教学时，也可以联系以前学习求正方形面积时，a×a可以写作a²，读作“a的平方”。使学生更清楚地了解，两个相同的数相乘，就在这个数的右上角写“2”，三个相同的数相乘，就在这个数的右上角写“3。

长方体和正方体的体积公式的统一

教材在说明了什么是长方体和正方体的底面积后，引导学生将长方体和正方体的体积公式，统一成“底面积×高”，让学生看到长方体和正方体的体积公式之间的联系。

在教学长方体和正方体统一的体积公式时，先结合实物指出，物体的体积都是由它的长、宽、高决定的。然后让学生分别写出长方体和正方体的体积公式，“长×宽”实际就是长方体的底面积，正方体模型说明计算公式中的“棱长×棱长”实际就是它的底面的面积，说明长方体和正方体底面的面积叫做底面积。这样，长方体和正方体的体积公式都可以统一成“底面积×高”，用字母表示就是V＝Sh。

教材43页的做一做，一共两道题，第一题的第一小题是配合例1完成的，第二小题是配合例2完成的，第二题是学生知道了长方体和正方体统一的体积公式后再完成的。可以向学生说明题中所说的木料的横截面的面积也可以看作是底面积，木料的长就可以看成高。如果有的学生不明白，可以用一个长方体物品做演示，先平放说明什么是横截面的面积，再竖起来，让学生看到这时横截面的面积就成了底面积。

3、对练习七中的习题进行具体分析。

练习七的第1-4题配合体积和体积单位使用，第5-8题配合体积的计算使用。

第2题，填上适当的体积单位。意在培养学生的数感、体积感，学会选择适当的体积单位表示物体体积的大小。

第5题和第8题中出现了体积单位“方”，学生只要知道1方=1m³即可。

4、           体积单位间的进率。

教材通过图示，引导学生用不同的方法推出体积单位之间的进率。先看棱长是1dm的正方体，体积是1dm3，也可以看作是棱长10cm的正方体，由正方体体积的计算公式可以算出它的体积是1000（10×10×10）cm3，由此得出1dm3＝1000 cm3。然后让学生想一想1 m3等于多少立方分米。这样推出体积单位之间的进率，可以使学生较清楚地理解并记住相邻的体积单位之间的进率都是1000。接着，教材把长度单位、面积单位和体积单位及其相邻单位间的进率列成表格，让学生填写并对比，以加深印象。教学时，要充分利用学生已有的长度单位间的进率，面积单位间的进率的方法经验，引导学生迁移、类推。

知道了体积单位间的进率以后，教材又安排了例3，教学体积单位名数的变换，为以后计算实际问题时灵活处理体积单位做准备。为了体现体积单位之间的变换在实际问题中的应用，教材又安排了例4。教学时例3，可以先让学生想一想以前在把高一级单位的名数变换成低一级单位的名数时是怎样做的，把低一级单位的名数变换成高一级单位的名数时是怎样做的。教学时例4，可以让学生自己审题，自己试着解答，然后由立方厘米换算成立方分米和立方米。

在例题下面，教材还呈现了“你知道吗？”这一版块，是对数学文化的有机渗透。中国的数学在世界历史上具有举足轻重的地位，我国古代的数学著作《九章算术》中就对底面是正方形的长方体的体积计算方法有所记载，这正是向学生进行数学文化的渗透，增强民族自豪感的绝佳教育时机。

5、对练习八中的习题进行具体分析。

练习八中的习题都要求学生在计算时注意计量单位的统一和换算。

练习八的第1题，这是一道实际应用的问题。包装盒是否能够装得下玻璃器皿，这里关键要看包装盒的长、宽、高的数据是否都比玻璃器皿的长、宽、高的数据略大些，这样才能装下。

第4题，此题数据比较复杂，学生可以用计算器计算。

6、容积和容积单位。

教材首先直接给出了容积的概念，并说明计量容积，一般就用体积单位。然后通过引导学生观察生活中常见的药水瓶、饮料瓶上的容积单位，发现L和ml这两个容积单位，然后介绍了计量液体的体积常用容积单位升和毫升，以及它们与体积单位之间的关系。

接下来教材设计了一个小组活动，让学生在具体实践操作与观察对比中，利用瓶装矿泉水和量杯来感知L和ml这两个容积单位的实际大小。然后再让学生说一说，生活中还有哪些物品上标有毫升和升，目的是使学生将新知与生活体验联系起来，有利于学生更加深刻地感知容积单位的实际意义，培养学生应用数学的意识以及细心观察的良好习惯。

在容积概念的教学中应注意为学生提供足够的实际例证，让学生在具体情景中，感知和理解容积所表示的具体含义。明确：只有能够装东西的物体，才能计量它的容积，计量的时候要从容器的里面量长、宽、高，才能更准确地算出它的容积是多少。

明确了容积的定义，会计算容积了以后，教材又安排了例5，利用例5计算小汽车油箱的容积巩固长方体容器容积的计算方法以及体积单位与容积单位之间的关系。教学例5时，要注意说明怎样把算出的体积单位的名数变换成容积单位的名数

6、不规则物体的体积。

在学生掌握了长方体和正方体体积的计算方法后，为了让学生接触不规则物体体积的计算方法，教材又安排了例6，用排水法来测量不规则物体的体积。即：利用有刻度的量杯记录下放入物体前后水位的刻度，水面上升的那部分水的体积就是该物体的体积。教学时，可在教师的引导下让学生通过小组实践活动探索出测量方法。

7、对练习九的习题进行具体分析。

练习九第1-6题和第8题配合容积和容积单位使用，第9-15题配合容积的计算使用，第7题和第16题配合不规则物体的体积使用。

第1题，主要是区分体积和容积的不同。体积相同的盒子，由于盒子的壁厚度不同，容积也就不同。

第12题， 是一道开放题，可以根据不同的实物选择不同的测量方法。如果是柔软可变形的物体，可以捏成长方体或正方体，然后用尺子测出需要的数据，即可算出体积。如果是不能变形的物体，可以利用例6的排水法来测量。比较两个物体体积大小时，也可以利用排水法，看哪个物体使水面上升的高，那个物体的体积就大。

第16*题，这是一道思考题，可供学有余力的学生选做。根据第二、三幅图可知：一个大圆球加一个小圆球排出的水是12ml，一个大圆球加4个小圆球排出的水是24ml，这样可知3个小圆球排出的水是24ml－12ml=12ml，3个小圆球的体积是12cm3，则 1个小圆球的体积为4cm3，由此可以得出大圆球的体积为12－4=8（cm3）。

8、整理和复习

对这一单元进行全面系统地整理和复习。第1题通过比较长方体和正方体的相同点和不同点，复习它们的特征。第2题复习长方体、正方体表面积的计算方法。第3题复习体积和容积以及它们之间的关系。

教学时可注意：（1）引导学生归纳总结，形成知识网络。（2）通过迁移比较，促进学生掌握易混知识的联系和区别。（3）重视抽象和概括，抓住本质特征。

9、对练习十部分习题进行分析。

第3题，这道题不仅可以帮助学生比较表面积和体积，避免发生混淆，分清这两个概念和各自的计算方法，而且还使学生在计算填表中发现变化规律，即长方体的长、宽、高变为原来的2倍，则表面积变为原来的2×2=4倍，体积变为原来的2×2×2=8倍。

第4*题，图中画的两个长方体，都有一部分被遮挡住，要求学生从未被遮挡的部分看出它们的长、宽、高各是多少，并算出体积。这可以提高学生看图的能力，发展空间想像能力。此题供有余力的学生选做。这两个长方体的体积是：4×3×3＝36（cm3）　　4×3×4＝48（cm3）

受篇幅的限制，整理和复习这部分教材内容并没有将本单元的教学内容和知识点全部呈现出来，一些细节的内容还需要教师在教学准备时根据需要自行开发一些具体实用的课程资源。

10、粉刷围墙

教材中安排粉刷围墙这一数学实践活动，目的是巩固有关表面积等方面的知识，加强数学知识在实际生活中的应用，而且还可以培养学生收集 、整理、分析信息的意识和能力。

教学时要注意：1．明确设计方案需要做的工作。2．收集数据。3．整理数据、分析与比较信息。4．书面呈现粉刷围墙方案。

此外，因本实践活动会涉及实地的测量与调查，教学活动可以采取室内教学和室外教学相结合的形式。展示方案的过程中，教师可以引导学生比一比，看看哪组的方案更合理、更有实际效益，激发学生之间的互评，使学生在交流中理解并接纳别人较好的方法。

我的发言到此结束，谢谢大家。