《两角和与差的三角函数》单元教学设计

             西安市第四十六中学     苏芳云

一．教材分析：

   本单元内容是《数学必修四》第三章内容，是继《三角函数》、《向量》之后的第三章内容的第二节。本单元是初中特殊角三角函数求值的延续，通过本单元内容的学习,学生可以求作一些更为特殊：诸如与15°、75°等角有关的三角函数值。同时本单元又是紧邻其后的“倍角公式”知识学习的基础，也是高中三角函数知识学习的重点内容。

   通过本单元学习，学生在学习两角差的余弦公式的基础上，发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,理解它们之间的内在联系。两角和与差的三角公式提供了一种新的运算法则，这是有关三角函数值的运算，不是线性运算。它不满足sin(α+β)=sinα+sinβ.故是一种新的运算。

   本单元公式众多，灵活运用公示的难度大，使这一部分知识的教学又成为高中数学学习的一大难点。所以学好本单元内容非常必要。

二．近几年高考对《两角和与差的三角函数》内容考察的分析

高考中三角函数内容经常涉及两角和与差的三角函数。一般会考察公式的应用，特别是公式逆用，三角函数内容在高考中是以一大一小题的形式出现，分值18分。掌握好本节内容，对三角函数知识打好双基，完成高考对三角函数知识考查要求的基本技能奠定了基础。

 

三．课时的划分与教学目标的确定

 

   本单元可分为3个课时：

1.两角和与差的余弦函数（1课时）

2.两角和与差的正弦函数  (1课时)

3.形如y=asinωx+bcosωx的最值和周期问题(1课时)

 

教学目标：

第一课时：1.掌握两角和与差的余弦函数公式的推导。

2.理解两角和与差的余弦函数公式的作用。

          3.熟练应用两角和与差的余弦函数公式进行求值，并灵活逆用公式。

          4.初步了解由已知角与所求角之间的联系灵活化为两角和或差的三

          角函数求值问题这一数学方法。

        

第二课时：1.掌握两角和与差的正弦函数公式的推导 。

          2．体会两角和与差的正弦函数公式的作用

          3．熟练应用两角和与差的正弦函数公式进行求值，并能灵活逆用公式。

          4．能基本掌握由已知角与所求角之间的联系灵活化为两角和或差的

          三角函数求值问题这一数学方法。

第三课时：1.进一步熟练掌握两角和与差的正余弦函数公式。

          2.通过课前预习中特殊值换为三角函数正余弦值从而求值或化简，理解和差公式逆用的另一重要用途。

          3.能将形如y=asinωx+bcosωx一般类型的函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式。

 

四.学情分析：

    我所带班级是一所普通高中的高一（1）班和高一（3）班。这些学生的数学理解能力中等。而高中阶段的三角函数学习是对特殊函数的研究，本单元求值化简的技巧性强，有些求值问题计算复杂，特别是公式的灵活运用难度较高，使它成为高中阶段数学的又一难点，而两角和与差公式的应用是三角函数内容的基础，它的学习直接影响后期倍角公式内容的进一步学习。从上学期的学习情况看学生数学基础有限，理解能力中等，因此起点应该定的略低些，学习进度不宜太快，打好基础才是关键。      

    基于以上原因，在教材中两节课基础上，自己将该模块分为三个课时的教学内容。课时设计如下：

五.分课时设计：

                   §2.1两角和与差的余弦函数

http://s13/mw690/003wr0Pogy6Ikyvmg5Sac&690

 

【学习目标】

 1.通过探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”。

3.通过两角和与差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简，提高分析问题解决问题的能力.

【学习重点】1.通过探究得到两角差的余弦公式。

            2.熟练应用两角和与差的余弦公式。

【学习难点】 灵活运用所学公式进行求值、化简、证明。

http://s9/mw690/003wr0Pogy6IkyO3HeM08&690

 1.       cos15°=cos(45°-30°)= cos45°-cos30°吗？  cos15°=cos(60°-45°)= cos60°-cos45°吗？

cos(α-β)= cosα-cosβ吗?

 

2.       猜测cos(α-β)的公式：

探究1：如何用角 、 的正余弦值表示cos(α-β)呢？

阅读116页，自己画图并运用三角函数定义及向量知识证明cos(α-β)的表达式

                                 

 

3.细心观察C_(α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？

 

 

4.在公式C_(α-β)中，角β是任意角，思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式cos(α-β)来推导公式cos(α+β)呢?自己不妨试试

 

 

5.在课前，回顾一下两角和与差的余弦函数公式，默写出来，并总结公式的特征以便应用 

 http://s5/mw690/003wr0Pogy6Ikz7vhOIa4&690

 

例1．  利用差角余弦公式求cos15°的值.

  

  

变式训练

1.不查表求cos75°,cos105°的值.

 

 

 

例2.不查表求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.

 

变式训练

  (1) cos20°cos25°-sin20°sin25°

(2)cos（x+20°）cos(x-40°)＋sin(x-70°)sin(x-40°).

 

http://s8/mw690/003wr0Pogy6Iky520Dl87&690

 

 

http://s6/mw690/003wr0Pogy6IkztOk6Nd5&690
1.     两角差的余弦公式证明； （余余正正符号异）

   2.     两角和与差的正、余弦公式的应用。注意：α=(α+β)-β , α=(α-β)+β等。

http://s11/mw690/003wr0Pogy6IkzIy6aCfa&690

 

http://s1/mw690/003wr0Pogy6IkAG8WcMe0&690

1． 计算:(1)cos(-15°);                       (2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°;

(3)sinxsin(x+y)＋cosxcos(x+y).

 

 http://s12/mw690/003wr0Pogy6IkAZsv6H8b&690

 

1.课本118练习2、3；课本121页 习题3 -2 A组3

 

                      §2.2两角和与差的正弦函数

http://s11/mw690/003wr0Pogy6IkyBxyH0fa&690

【学习目标】

 1.推导“两角和与差的正弦公式”。

2.通过两角和与差的正弦公式的运用，会进行简单的求值、化简，提高分析问题与解决问题的能力.

 

【学习重点】1.通过三角函数诱导公式得到两角差的正弦公式。

            2.熟练应用两角和与差的正弦公式。

【学习难点】 灵活运用所学公式进行求值、化简、证明。

 http://s12/mw690/003wr0Pogy6IkySjC0r3b&690
 

1.利用诱导公式通过cos(α+β)自己推导sin(α+β) 公式及sin(α-β) 公式

 

2.总结公式特征并记忆

 

3.公式运用：求值（1）sin15°      （2） sin75°

http://s13/mw690/003wr0Pogy6IkzaesK86c&690

 

 

例1.（学生独立练习公式应用，然后同桌交换检查）

http://s9/mw690/003wr0Pogy6IkBrNUhi98&690

 

http://s11/mw690/003wr0Pogy6IkzxCplg0a&690

1. 两角差的正弦公式证明；

2.两角和与差的正、余弦公式的应用。注意：α=(α+β)-β , α=(α-β)+β等。

 

 http://s6/mw690/003wr0Pogy6IkzLPVgpd5&690

 

 

http://s1/mw690/003wr0Pogy6IkB2x96w30&690

 

作业：课本121页 习题3-2 A组；课本118页 练习题4

 

 

 

 

         §2.3：y=asinωx+bcosωx的最值和周期问题

http://s8/mw690/003wr0Pogy6IkyEBNTV67&690

 

【学习目标】

 1.进一步熟练掌握两角和与差的正余弦函数公式。

 2.通过课前预习中特殊值换为三角函数正余弦值从而求值或化简，理解和差公式逆用的另一重要用途。

 3.能将形如y=asinωx+bcosωx一般类型的函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式。

【学习重点】将y=asinωx+bcosωx一般类型的函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式。

_1.复习并默写公式C_(α-β)、C_(α+β)，Ｓ_（α±β）

 

2.化简或求值：

http://s4/mw690/003wr0Pogy6IkBBuIuLe3&690

http://s15/mw690/003wr0Pogy6Ikzcv1tI9e&690 

 

例1. 求函数y=asinωx+bcosωx的最值和周期

 

（教师分析、引导学生，师生共同推导并说明其应用）

小组合作：

 http://s3/mw690/003wr0Pogy6IkBJdY8ab2&690

 http://s16/mw690/003wr0Pogy6IkzAA1D93f&690

 

http://s11/mw690/003wr0Pogy6IkADAlhU7a&690
1.课本121页4

2． 计算:

(1)cos(-15°);                 

(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°;

(3)sinxsin(x+y)＋cosxcos(x+y).

 

 

http://s13/mw690/003wr0Pogy6IkB6ANRO6c&690

1.课本121页 习题3-2 A组

第2题 （1）                          （2）

 

 

 

（3）                                 （4）

 

 

第3题   

 

                             

 

第4题

 http://s10/mw690/003wr0Pogy6IkBRHPIdd9&690

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