《角的概念的推广》单元教学设计

西安市第四十六中学     苏芳云

一．教材分析：

《角的概念的推广》位于数学必修四第一章，我校是在高一第二学期开始学习该单元内容的。三角函数是高中阶段系统学习的又一个基本初等函数，学生通过必修一的学习，已经积累了一定的研究函数的方法和经验；三角函数是初等函数，是描述周期现象的重要数学模型。

 初中阶段对角的研究范围仅限于锐角、直角、钝角、平角、零度角和周角。本单元将在此基础上将角的概念推广到正角，负角和零角；角的度量单位除了角度制外还增加了弧度制，特别是弧度制计量方法在高中阶段应用广泛，目的是为后节正余弦函数的定义域是实数集R奠定基础。

本单元终边相同角的集合的表示方法，轴上角的表示，弧度制的概念建立，角度制与弧度制的转化是难点问题，教材中P12 A组5的求函数值问题有一定难度，是学生不易接受的内容；领会角的概念推广的含义，并在日后学习中能正确应用角的概念和弧度单位制是本模块的重点。怎样在学生已有的数学基础上，使学生掌握新的教学内容，较快掌握本单元重点，突破难点是教学要关注的问题，也是教学需要达到的目标，实现了这一目标对高中阶段数学学习至关重要。

 

二．近几年高考对《角的概念的推广》内容考察的分析

 

高考中三角函数内容经常涉及弧度制，三角函数内容在高考中是以一大一小的题型出现，分值18分。掌握好本节内容，对三角函数知识的顺利过渡，完成高考要求目标就做好了铺垫。

课时的划分与教学目标的确定

 

   本单元可分为3个课时：

1． 角的概念的推广（1课时）

2． 弧度制 (2课时)

教学目标：

第一课时：1.理解角概念推广的必要性。

2.理解角的概念，根据角的终边旋转方向，能判定正角，负角和零角。

          3.学会利用直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的概念

          4.掌握终边相同角的表示方法。

         

第二课时：1. 理解弧度制的概念，体会弧度是一种度量角的方法。

          2．能进行角度和弧度的互化。

          3．体会弧度制定义的合理性，并能初步运用弧度表示的弧长公式、扇形面积公式，解决相关问题。

          4．能用弧度制表示轴上角、终边相同的角，终边在某条直线上角的集合。

          5.能求用弧度制表示的特殊角的三角函数值

          6. 理解角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系。

四.学情分析：

    我所带班级是高一（1）班、高一（3）班。这些学生在初中学习的三角函 

函数是静态的 ，主要讨论直角三角形的边角关系，通过边的比值反应角的大小，而角只针对三角形的内角及平角，周角，并以角度制的形式来研究。而高中阶段的三角函数学习是特殊函数的研究，而角的范围推广到正角，负角，零角；角的度量单位有角度值和弧度制，特别是弧度制在高中阶段应用广泛，目的是为后期三角函数内容的进一步学习做好铺垫。从上学期的学习情况看学生数学基础有限，理解能力中等，因此起点应该定的略低些，另外要考虑到初高中知识的衔接，以及学生接受能力的逐步过渡。                          

     基于以上原因，我将该模块分为三个课时的教学。课时设计如下：

 

 五.分课时设计：

§1.角的概念的推广

【课标要求】

1.通过实例理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示. 

2.认识集合S中k、α、http://s12/mw690/003wr0Pozy6HArbTac32b&690
的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.    

3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用。

【学习重点】将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合.

【学习难点】用集合来表示终边相同的角.

课前自主探究

问题1

①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将它调整准确（回答顺时针或逆时针方向）?当时间调整准确后,分针分别转过了多少度角?

 

②汽车在前进时车轮转动的是正角还是负角？拧松螺丝时，扳手转动的角度呢？

 

 

③体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度?

阅读课本第6页内容回答下列问题

问题2

①能否以同一条射线为始边作出下列角:210°,-45°,-150°；正角、负角与零度角是如何规定的。

 

②如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思? 

 

问题3

①在直角坐标系中标出210°,-150°的角的终边,你有什么发现?它们有怎样的数量关系?328°,-32°,-392°角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系?

 

②所有与α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个式子表示出来?

课堂合作探究

例1  在0°—360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角。

 

变式训练1

写出与例1终边相同且适合条件-3600＜α＜7200的所有角α。 

例2  写出终边在x轴上的角的集合。

 

例3.找出与-257°12′终边相同的最小正角。

 

变式训练2

①分别写出终边在在各个象限的角的集合；

 

 

②写出终边在Y轴上的角的集合；

 

③写出终边在直线y=x上的角的集合。

【课时收获】

 

课内及时评价

【今日作业】课本第8页习题1. 2.3.4.

【链接高考】

 

http://s6/mw690/003wr0Pozy6HAqWJVHfd5&690

 

§2 弧度制

【课标要求】

1.通过类比长度、重量的不同度量制,体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.

 2.通过探究认识到角度制和弧度制都是度量角的单位,总结引入弧度制的好处,

 3.学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发我们的学习兴趣.

第一课时：

【学习重点】:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.

【学习难点】:弧度制的概念及其与角度的关系.

【课前复习】

1.所有与角α终边相同的的角，连同α在内，可表示为：                         

2.终边在坐标轴上的角可表示为：⑴X轴                                 

⑵ Y轴                                       

3.四个象限的角可表示为：                                                           

                                                                 .

课前自主探究

1.阅读课本P9----10后填空

（1） 弧度：                                                                      

（2） 1弧度的角：                                       

（3） 弧度制：                                                                                                                                                     

（4）弧长等于                                                   

 弧度数、弧长、半径相应公式为：                     

（5）请思考，为什么要学习弧度制 ？

2 . 角度与弧度的互化关系式分别为：                                                                            

课堂合作探究

 

例1  下列各命题中,真命题是(    )

A.一弧度是一度的圆心角所对的弧

B.一弧度是长度为半径的弧

C.一弧度是一度的弧与一度的角之和

D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位    

点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念.

变式训练

  下列四个命题中,不正确的一个是(    )

  A.半圆所对的圆心角是π rad

  B.周角的大小是2π

  C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径

  D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度

例2将下列角度化为弧度：  (1)15°;   (2)-240°;   (3)54°.

 

 

 

例2将下列弧度化为角度：

 

 

 http://s16/mw690/003wr0Pozy6HArtWoyPef&690

例3（1）将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的象限:

http://s3/mw690/003wr0Pozy6HArDuBIS12&690

（2）把-1480°写成2kπ+α(k∈Z,α∈[0,2π))的形式;

 

例4  已知一个扇形的周长为http://s2/mw690/003wr0Pozy6HArSGd57a1&690 ,圆心角为80°,求这个扇形的面积.

【课时收获】

 课内及时评价

 

 1.一条弦的长度等于圆的半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数是(    )

http://s6/mw690/003wr0Pozy6HAs36qONb5&690

 

2.圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增大到原来的2倍,则(    )

A.扇形的面积不变

B.扇形的圆心角不变

C.扇形的面积增大到原来的2倍

D.扇形的圆心角增大到原来的2倍

3.下列表示的为终边相同的角的是(    )

http://s1/mw690/003wr0Pozy6HAsieArCf0&690

4.已知扇形的周长为6 cm,面积为2 cm2,求扇形的中心角的弧度数(.画图)

 

 

【今日作业】课本11页1.2.3.7.8.

 

第二课时

 

【学习重点】: 能熟练掌握角度和弧度的换算.

【学习难点】: 熟练应用弧度制与角度的关系解决相关问题.

【课前复习】

利用角的弧度制单位填空：

1.所有与角α终边相同的的角，连同α在内，可表示为：                         

2.终边在坐标轴上的角可表示为：(1)x轴                                     (2)Y轴                                       

3.四个象限的角可表示为：                                                           

                                               

4.弧度数、弧长、半径相应公式为：                     

课前自主探究

1.终边在直线y=x上角的集合可表示为__________________________________.

2.完成下列角度与弧度制的互化：

45°=         60° =        90°=         120° =        54°=       180°=

http://s9/mw690/003wr0Pozy6HAszOiAob8&690

 

课堂合作探究

 

例1 .将下列各角化为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式

 

  http://s9/mw690/003wr0Pozy6HAsMx2gU18&690

 (5) 1260°      (6)980°      (7)-1160°     （8） -3500°

 例2.(1)终边在直线 http://s6/mw690/003wr0Pozy6HAt41wEJ75&690上角的集合可表示为__________________________.

(2)终边在直线 http://s11/mw690/003wr0Pozy6HAtbtUzU3a&690上角的集合可表示为_____________________________

 

例3.求下列各式的值：

http://s3/mw690/003wr0Pozy6HAtig9Ts12&690

 

例4【高考链接】已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值.

 

【课时收获】

 

 

 课内及时评价

完成下列角度与弧度制的互化：

 

30°      45°      60°      90°     120°     135°     150°      180°   

210 °    225°     240°     270°    300°     315°      330°      360°

 

 

【今日作业】课本11页4.5.6.