2. 已知A、B两点，可以把点 A 折到点B上去（想象这张纸是透明的，所有几何对象正反两面都能看见，下同）

　　容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。例如，操作 1 实际上相当于连接已知两点，操作 2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线，操作 3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线，操作 4 则相当于过已知点作已知线的垂线。真正强大的则是后面两项操作，它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能作出来的（有时甚至是作不出来的）。正是这两个操作，让折纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。

　　更有趣的是，操作5的解很可能不止一个。在大多数情况下，过一个点有两条能把点A折到直线a上的折痕。

　　操作6则更猛：把已知两点分别折到对应的已知两线上，最多可以有三个解！、

　　一组限定条件能同时产生三个解，这让操作6变得无比灵活，无比强大。利用一些并不太复杂的解析几何分析，我们能得出操作6有三种解的根本原因：满足要求的折痕是一个三次方程的解。也就是说，给出两个已知点和两条对应的已知线后，寻找符合要求的折痕的过程，本质上是在解一个三次方程！

　　让我们来回顾一下尺规作图里的五个基本操作：

1.过已知两点作直线

2.给定圆心和圆周上一点作圆

3.寻找直线与直线的交点

4.寻找圆与直线的交点

5.寻找圆与圆的交点

　　这五项操作看上去变化多端，但前三项操作都是唯一解，后两项操作最多也只能产生两个解。从这个角度来看，尺规作图最多只能解决二次问题，加减乘除和不断开方就已经是尺规作图的极限了。能解决三次问题的折纸规则，势必比尺规作图更加强大。

　　正因为如此，一些尺规作图无法完成的任务，在折纸几何中却能办到。这就回到了文章开头提到的问题：用折纸法可以实现作正七边形，而这是无法用尺规作图办到的。

　　我们有更简单的例子来说明，用折纸法能完成尺规作图办不到的事情。“倍立方体”问题是古希腊三大尺规作图难题之一，它要求把立方体的体积扩大到原来的两倍，本质上是求作 2 的立方根。由于尺规作图最多只能开平方，因而它无法完成“倍立方体”的任务。但是，折纸公理 6 相当于解三次方程，解决“倍立方体”难题似乎是游刃有余。

　　有意思的是，用纸片折出2的立方根比想象中的更加简单。取一张正方形纸片，将它横着划分成三等份（方法有很多，大家不妨自己想想）。然后，将右边界中下面那个三等分点折到正方形内上面那条三等分线上，同时将纸片的右下角顶点折到正方形的左边界。那么，纸片的左边界就被分成了 3√2 : 1 两段。

　　利用勾股定理和相似三角形建立各线段长度的关系，我们不难证明它的正确性。强烈建议大家自己动笔算一算，来看看三次方程是如何产生的。

　　本文写到这里，大家或许以为故事就结束了吧。10年以后（也就是2001年），事情又有了转折：Koshiro Hatori发现，Humiaki Huzita的6个折纸公理并不是完整的。 Koshiro Hatori 给出了折纸的第7种操作。从形式上看，第7公理与已有的公理如出一辙，并不出人意料，很难想象这个公理整整十年里竟然一直没被发现。继续阅读之前，大家不妨先自己想想，这个缺失的操作是什么。这段历史背景无疑让它成为了一个非常有趣的思考题。

　　Koshiro Hatori 补充的公理是：

　　后来，这7条公理就合称为了Huzita–Hatori公理，你可以在 Wikipedia上读到这个条目。在2003年的一篇文章中，Robert J.Lang对这些公理进行了一番整理和分析，证明了这7条公理已经包含折纸几何中的全部操作了。

　　Robert J.Lang注意到了，上述7项基本操作其实是由一些更基本的操作要素组合而成的，例如“把已知点折到已知线上”、“折痕经过已知点”等等。说得更贴切一些，这些更加基本的操作要素其实是对折痕的“限制条件”。在平面直角坐标系中，折痕完全由斜率和截距确定，它等价于一个包含两个变量的方程。不同的折叠要素对折痕的限制力是不同的，例如“把已知点折到已知点上”就同时要求x1'= x2并且y1'= y2，可以建立出两个等量关系，一下子就把折痕的两个变量都限制住了。而“折痕经过已知点”则只能列出一个方程，只能确定一个变量（形式上通常表示为与另一个变量的关系），把折痕的活动范围限制在一个维度里。

　　不难总结出，基本的折叠限制要素共有5个：

(1)把已知点折到已知点上，确定2个变量

(2)把已知点折到已知线上，确定1个变量

(3)把已知线折到已知线上，确定2个变量

(4)把已知线折到自身上，确定1个变量

(5)折痕经过已知点，确定1个变量

　　而折痕本身有2个待确定的变量，因此符合要求的折纸操作只有这么几种：(1)，(2)+(2)，(3)，(4)+(4)， (5)+(5)，(2)+(4) ，(2)+(5)，(4)+(5)。但是，这里面有一种组合需要排除掉：(4)+(4)。在绝大多数情况下， (4)+(4)实际上都是不可能实现的。如果给出的两条直线不平行，我们无法折叠纸张使得它们都与自身重合，因为没有同时垂直于它们的直线。

　　另外7种则正好对应了前面7个公理，既无重合，又无遗漏。折纸几何至此便有了一套完整的公理。

　　不过，折纸的学问远远没有到此结束。如果允许单次操作同时包含多处折叠，折纸公理将会更复杂，更强大。折纸的极限究竟在哪里，这无疑是一个非常激动人心的话题。