分析：一个正整数通过分解质因数后写成标准格式，那么这个正整数有多少个约数呢？约数个数=每个质因数的指数加1的和再相乘的积就是约数的个数了，这其实用到的就是加乘原理得到的计算公式。

比如12的约数有多少个呢？

12=2的2次方×3的1次方

那么12的约数个数为（2+1）×（1+1）=6个。

又因为6个约数每两个约数为一组，每组乘积都等于12，所以6个约数的乘积就等于12的3次方。

详细如下：

1×12=2×6=3×4=12

其实道理就是：

最小约数×最大约数=第二小约数×第二大约数=第三小约数×第三大约数

总之：第X小约数×第X大约数=N，当然约数按照大小两个为一组，每组乘积都是N本身，所以这个时候要求约数的个数必须是偶数个，这个题目当中正好满足这个要求，乘积为N的16次方，所以有32个约数存在。

题目当中为N的16次方，所有16组，有32个约数，32等于每个质因数的指数加1的和再相乘的积。

指数至少为1，所以指数加1至少为2，所以约数个数一定是若干个大于等于2的正整数相乘。所以把32分成几个大于等于2的正整数相乘， 分类枚举，最多分成5个2相乘，最少1个数就是32本身，所以可以分成5大类进行讨论和比较。具体如下：

32=2×2×2×2×2=2×2×2×4=2×2×8=2×4×4=2×16=4×8=32

上面的式子不难理解，其实就是分解质因数后，分成了一五个不同的质因数，4个不同的质因数，3个不同的质因数，2个不同的质因数，以及一个质因数的情况。

而对应的质因数的指数等于上面每个数减去1。因为N要最小，所以每次更大的指数应该对应选择更小的质因数来构造N。

    1、32=2×2×2×2×2时，N最小为2×3×5×7×11=2310

2、32=2×2×2×4时，N最小为2的3次×3×5×7=840

  3、32=8×2×2时，N的最小值为2的7次方×3×5=1920

             4、32=4×4×2时，N的最小值为2的3次方×3的3次方×5=1080

5、32=2×16时，N最小为2的15次方×3=1024×32×3=98304

6、32=8×4时，N最小为2的7次方×3的3次方=3429

7、32=32时，N最小为2的31次方＞2的10次方=1024

综上可得，N＝840为最小取值。

武汉童老师奥数，武汉童老师数学，十五年专业经验，值得信赖，我们做教育是认真的，精品高端一对一授课；高效小班班课授课，电话：15337245165  微信号15337245165 非常勿扰！！！