一只电子蚂蚁在平面上爬行。第一段爬行了1米然后逆时针方向旋转1度，第二段上爬行2米然后逆时针旋转2度，第三段上爬行了3米旋转了3度，……，依次下去，第（    ）段爬行时的方向首次回到了初始方向？2019年明心五年级资优生春季测试题                 武汉童老师 15337245165   专供奥数体系，升学，分班，提高数学思维能力  十五年经验   小班课   高端一对一授课

 

 

第一种方法：（武汉童老师奥数15337245165分享）

设1+2+3+...+n＝360k，其中K为正整数。

 

（1+n）n=720K

 

（1+n）n＝2的4次方×3的平方×5×k

 

因为1+n与n相邻，一个奇数一个偶数。

2的4次方必须一个整体出现在n或者1+n中。

 

1+n与n只能有一个为3的倍数。所以3的平方也只能出现在n或者1+n中。

 

因为2的4次方必须是一个整体出现，而且要么单独存在，要么与其他数的积存在，根据这个我们进行分类讨论。

 

n×（1+n）＝16×（9×5×k）不行的。

 

n×（1+n）＝（16×2）×（9×5×k÷2）当然这里k为2的奇数倍的数。也不行。

 

n×（1+n）＝（16×3）×（3×5×k）不符合只有……和为3倍数。也不行。

 

n×（1+n）＝（16×4）×（9×5×k÷4）其中k是4的奇数倍，也不行。

 

 

n×（1+n）＝（16×5）×（9×k）＝80×（9k）。当n＝80，k＝9成立。

1+n＝80，n＝79≠9k，所以不成立。

 

 

所以k＝9

 

所以n＝80成立。

 

 

走完第80段的最后一瞬间回到原来位置。走在第80+1＝81段时与原来初始方向是一个方向。

以上做法是因为，我们很容易找到16与5组合成80的情况，我们要证明这是最小取值，那么就需要排除16与比5小的数的组合不成立，所以通过上面的方式进行分类证明了K=9，N=80是最小取值。

 

 

 

 

 

第二种方法（武汉童老师奥数15337245165分享）

 

 

设1+2+3+...+n＝360k，其中K为正整数。

 

（1+n）n=720K

 

（1+n）n＝16×9×5×K

 

因为1+n与n相邻，一个奇数一个偶数。只能有一个为3的倍数。

 

 

所以1+n 、n 两个数中其中必须有一个数为9的倍数，另外一个数9的倍数多1或者多8 。

 

分成两大类，有细分为四小类，再取每类中的最小值。

 

第一种情况

当n是9的倍数，那么1+n就是9的倍数多1。

 

1、如果n是9的倍数又是16的倍，那么n最小为144，这时1+n必须是5的倍数，那么1+n=145，n=144、不成立。

 

2、如果n是9的倍数不是16的倍数，那么另外一个数1+n就是9的倍数多1。是16的倍数，又是9的倍数多1的数。1+n=64  ,n=64-1=63这时  n(n+1)不是5的倍数不成立。

 

第二种情况

当1+n是9的倍数，那么n是9的倍数多8。

 

3、如果1+n是9的倍数又是16的倍数，那么1+n最小就是144，那么n=143  这个（1+n）与n都不是5的倍数不成立。

 

4、如果1+n是9的倍数又不是16的倍数，那么n是9的倍数多8，同时还是16的倍数，n最小值为：80，那么1+n就是81，这时间n（1+n）是5的倍数，成立。

 

综上所得，n=144、1+n=145      n=80，1+n=81 两种都成立，但是n等于80为最小值，所有第80段走完回到了原来位置，第80+1=81段爬行方向与原来方向一致。

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