数学发展简史（石拓/编著）

12.4.3.1 希尔伯特（Hilbert）空间（4）

       诺依曼（Neumann）的方法是，将平方可和序列空间与公共区间上的L²（平方可和函数空间）空间，放在一起研究。他的目的是，试图得到希尔伯特（Hilbert）算子的普遍的特征理论。

       诺依曼（Neumann）从内积出发，导出了范数（6）：

然后，他证明范数（6）具有性质：

由此可知，内积空间是一个赋范空间，其中的元素具有正交性。

       诺依曼（Neumann）用符号H表示希尔伯特（Hilbert）空间，他给出了5条公理：

       1. H是一个线性向量空间。

       2.在H上存在内积。

       3.对于度量（范数），H是可分的，即相对于H中的元素（函数）f和g，范数

       在H中存在一个可数的稠密集。

       4.对于任意的正整数n，H中存在n个线性无关的元素。

       5.H是完备的。即：关于范数的柯西（Cauchy）函数序列{f_n}，

       诺依曼（Neumann）的范数性质和公理系统，构成了一个完备的希尔伯特（Hilbert）空间，。

       然后，诺依曼（Neumann）根据他的公理，推出了一系列的定理。他研究了H空间的子空间，以及投影算子，其中就有著名的“投影定理”。

       根据诺依曼（Neumann）的公理，如果在（5）中，令f(x)=g(x)，那么有范数（7）：

这就是说，L²在区间[a,b]上不仅是内积空间，而且是H空间。

       （待续）