数学发展简史（石拓/编著）

12.4.3.1 希尔伯特（Hilbert）空间（2）

       随后，施密特（Schmidt）证明了广义的毕达哥拉斯（Pythagorns）定理（3）：

其中：z_p，p=1,2,…,n，两两正交。这是因为，如果空间元素z₁,z₂,…,z_n，两两正交，可由

 由此可知，n个两两相交的元素是线性无关。

       施密特（Schmidt）在希尔伯特（Hilbert）空间中，还得到了贝塞耳（Bessel）不等式、施瓦茨（Schwarz）不等式和三角不等式。

       1907年，施密特（Schmidt）和弗雷歇（Frecher）发现，平方可和的勒贝格（Lebesgue）可积函数的空间，有一种类似于希尔伯特（Hilbert）空间的几何。

       后来，里斯（Riesz）根据勒贝格（Lebesgue）平方可积函数，与平方可和实数序列之间1-1关系的里斯（Riesz）—弗雷歇（Frecher）定理，他发现，在平方可数和函数的集合L²中，可以定义距离。因此，他建立了平方可和函数空间（L²）的一种几何。

       在L²空间中，弗雷歇（Frecher）定义了在区间[a,b]上，任意两个平方可积函数的距离是（4）：

其中的积分是勒贝格（Lebesgue）意义下的。内积的定义是（5）：

其中：如果=0，则f(x)与g(x)正交。因此，L²在区间[a,b]上是内积空间。

       （待续）