6.1.1M-L最小作用原理的证明(1)
2023-11-11 10:56:09
标签： 原创科技著作
分析力学笔记(石拓/著）
6.1.1莫培督-拉格朗日最小作用原理的证明(1)
莫培督—拉格朗日最小作用原理（6-2）：
的证明，是法国数学物理学家拉格朗日（Lagrange）给出的。拉格朗日（Lagrange）把变分法应用到动力学中，他用具体的数学式把最小作用原理表示出来，即（6-1），并且给予了证明。
拉格朗日（Lagrange）的证明：根据动力学普遍方程（2-19）
因为虚功δwR仅取决于虚位移δri，又因为δri有无数个，并且没有涉及到时间t的变化过程，因此时间t的取值可以是任意的。不妨取时间间隔[t1,t2]内的虚位移δri|[t1,t2]=ri，于是，ri对应的动力学普遍方程写成（6-4）：
（6-4）两边乘dt并积分，得（a）：
由于系统是保守的，即系统的能量E：E=T+V=常数，所以，系统能量E的变化E=0，即（b）：
其中T是系统的动能函数，V是势能函数，F是保守力。
因为（c）：
把（b）、（c）代（a）右边，算得：
根据初始条件：质点在一切可能的运动路线中，具有相同的始末位置，即：
代入上式，算得（d）：
因为（d）中的T=(1/2)mv2是动能函数，所以将T=(1/2)mv2代入上式，得到莫培督（Maupertuis）的最小作用量（6-2）：
于是，莫培督（Maupertuis）的最小作用量原理，得到了数学证明。
（待续）
6.1.1M-L最小作用原理的证明(1)
分析力学笔记(石拓/著）
6.1.1莫培督-拉格朗日最小作用原理的证明(1)
莫培督—拉格朗日最小作用原理（6-2）：
的证明，是法国数学物理学家拉格朗日（Lagrange）给出的。拉格朗日（Lagrange）把变分法应用到动力学中，他用具体的数学式把最小作用原理表示出来，即（6-1），并且给予了证明。
拉格朗日（Lagrange）的证明：根据动力学普遍方程（2-19）
因为虚功δwR仅取决于虚位移δri，又因为δri有无数个，并且没有涉及到时间t的变化过程，因此时间t的取值可以是任意的。不妨取时间间隔[t1,t2]内的虚位移δri|[t1,t2]=ri，于是，ri对应的动力学普遍方程写成（6-4）：
（6-4）两边乘dt并积分，得（a）：
由于系统是保守的，即系统的能量E：E=T+V=常数，所以，系统能量E的变化E=0，即（b）：
其中T是系统的动能函数，V是势能函数，F是保守力。
因为（c）：
把（b）、（c）代（a）右边，算得：
根据初始条件：质点在一切可能的运动路线中，具有相同的始末位置，即：
代入上式，算得（d）：
因为（d）中的T=(1/2)mv2是动能函数，所以将T=(1/2)mv2代入上式，得到莫培督（Maupertuis）的最小作用量（6-2）：
于是，莫培督（Maupertuis）的最小作用量原理，得到了数学证明。
（待续）