6.1.1M-L最小作用原理的证明(1)

2023-11-11 10:56:09
标签: 原创科技著作

分析力学笔记(石拓/著)

6.1.1莫培督-拉格朗日最小作用原理的证明(1)

 

       莫培督—拉格朗日最小作用原理6-2):

的证明,是法国数学物理学家拉格朗日(Lagrange)给出的。拉格朗日(Lagrange)把变分法应用到动力学中,他用具体的数学式把最小作用原理表示出来,即(6-1),并且给予了证明。

 

       拉格朗日(Lagrange)的证明:根据动力学普遍方程(2-19

因为虚功δwR仅取决于虚位移δri,又因为δri有无数个,并且没有涉及到时间t的变化过程,因此时间t的取值可以是任意的。不妨取时间间隔[t1,t2]内的虚位移δri|[t1,t2]=ri,于是,ri对应的动力学普遍方程写成(6-4):

6-4)两边乘dt并积分,得(a):

 由于系统是保守的,即系统的能量EE=T+V=常数,所以,系统能量E的变化E=0,即(b):

其中T是系统的动能函数,V是势能函数,F是保守力。

 

       因为(c):

把(b)、(c)代(a)右边,算得:

    根据初始条件:质点在一切可能的运动路线中,具有相同的始末位置,即:

代入上式,算得(d):

因为(d)中的T=(1/2)mv2是动能函数,所以将T=(1/2)mv2代入上式,得到莫培督(Maupertuis)的最小作用量6-2

于是,莫培督(Maupertuis)的最小作用量原理,得到了数学证明。

 

(待续)

 


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