整数勾股弦新公式的发现及数据库的建立

 

 

三  整数勾股弦数据库的建立   4

 

如果说，A²+B²=C²是任意数(含无理数)的勾股定理，那末，整数勾股定理就有奇、偶两个公式组成。一个公式适用于A=奇、K=奇，一个公式适用于A=偶、K=偶。可见，要产生独立ABC，弦股之差的K不是随便定的，而是有规矩的，即:

勾A是奇数，K只能是奇数，並且仅仅是奇数的平方(如K=1²、3²、5² …13²、15² …)。

勾A是偶数，K只能是偶数，並且仅仅是整数平方的2倍(如K=2*1² =2、 2*2² =8、2*3² =18、

2*4² =32 、2*5² =50  … )。

这种规律，已体现在整数勾股定理的两个公式中，可以用手工计算。但是一个个的算，有点烦，若要把派生ABC约分为独立ABC，更烦。在电算时代，手工计算已经跟不上形势。为此，我编了两个VB程序，可以快速的构建成批整数勾股弦，且同时得到派生与独立的A B C。更有意义的是，这两个VB程序，实际上是整数勾股弦的数据库。

 

编程原理：根据A²+B²=C²，推演一个给出A与K，去求B、C的公式。

设: 给出整数A (A的取值一个不漏)，与定差K，(K=C-B，给出K=1、2、3、4…，则C=B+K)。

当C=B+K时，由 B²=C²-A² →  B²=(B+K)²-A²=B²+2BK+K²-A² → B²= B²+2BK+K²-A² → 2KB=A²-K²  →   B=(A²-K²)/2K  最终为: 

                  给出A，K，则  B=(A²-K²)/2K 、C=B+K    …   (a)

 

一    输入勾A，自动选择定差K的VB程序 

这个程序实际上可视与所有勾A相对应的整数勾股弦数据库

Private Sub Form_Click():     Form1.Width = 11520: Form1.Height = 15360      说   明

Dim A(20):   Dim B(20):   Dim C(20):   Dim Y(20)

E = InputBox("输入勾A，即E=")                                     输入勾A  

For K = 1 To 1000                                                  自动选择定差K 

   F = (E * E - K * K) / 2 / K                                          股 

   G = F + K                                                      弦  

   H = Int(F)                                                      股取整       

If (F = 0) Then GoTo W                                              股=0时便退出  

If (H <> F) Then GoTo S                                              股不是整数便退出 

Print

If (H = F) Then Print Spc(4); "A="; E; F; G; K                              股是整数便打印  

A(1) = E                                                          并前去约分  

A(2) = F 

A(3) = G 

For I = 1 To 3 

   B(I) = A(I) 

Next I

For I = 1 To 3

   Y(I) = A(I)

Next I

For I = 1 To 2

   n1 = A(1)

   m1 = A(2) 

If m1 > n1 Then 

m = m1: N = n1 

Else 

m = n1: N = m1 

End If 

Do 

R = m Mod N                                                  辗转相除

If R = 0 Then Exit Do

m = N 

N = R 

Loop 

Print Spc(4); n1; "  与  "; m1; " 的最大公约数X ="; N             打印最大公约数N

 A(1) = N 

 A(2) = A(I + 2) 

Next I 

For I = 1 To 3 

  C(I) = B(I) / N 

Next I 

Print Spc(4); "独立 "; C(1); C(2); C(3)                           打印独立勾股弦

S: 

Next K 

W: 

Print

Print Spc(4); "成功" 

End Sub 

 

例   勾A=3   结果如下:

   A    B    C   K  公约数  独立 A   B  C              注             

3    4    5   1    1          3   4   5         仅此一个       

 

例   勾A=27  结果如下: 

  A     B     C     K   公约数   独立 A    B     C             注         

27   364   365   1     1           27   364   365        仅此三个

27   120   123   3     3            9    40    41  

27    36    45   9     9            3     4     5

  

例   勾A=84  结果如下: 

  A     B      C     K   公约数   独立 A     B      C        注       

84   1763   1765    2     1          84   1763   1765 

84    880    884    4     4          21    220    221  

84    585    591    6     3          28    195    197 

84    437    445    8     1          84    437    445  

84    288    300   12    12           7     24     25  

84    245    259   14     7          12     35     37  

84    187    205   18     1          84    187    205  

84    135    159   24     3          28     45     53  

84    112    140   28    28           3      4      5  

待续